Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ÏÃÓ Êàô ÂèÏÌ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1
12
401
() 2 1384324390
3 22
-
D = - =+++=¹
A , т.е. матрица
A
невырожденная.
Значит, существует обратная матрица
1
-
A
. Находим:
11
13
8
22
-
= =-
A
;
21
01
22
=-=
A
;
31
01
1
13
==
-
A
;
12
23
32
=-=
A
;
22
41
11
32
-
= =-
A
;
32
41
14
23
-
=-=
A
;
13
21
7
32
-
==
A
;
23
40
32
-
=-=
A
;
33
40
21
-
==
-
A
.
Тогда
1
8 21
39 39 39
821
1 5 11 14
5 11 14
39 39 39 39
784
7 84
39 39 39
-
æö
--
ç÷
-
æö
ç÷
ç÷
ç÷
= -=-
ç÷
ç÷
ç÷
ç÷
èø
ç÷
ç÷
èø
A
.
г) Имеем:
1
8 21
39 39 39
4 0 1 100
5 11 14
2 13 010
39 39 39
3 2 2 001
7 84
39 39 39
-
æö
--
ç÷
-
æ ö æö
ç÷
ç ÷ ç÷
ç÷
×=-×-==
ç ÷ ç÷
ç÷
ç ÷ ç÷
ç÷
è ø èø
ç÷
ç÷
èø
AAE
.
д) Имеем:
1
8 2 1 401 100
1
51114213 010
39
7 8 4 3 2 2 001
-
--
æ öæ öæö
ç ÷ç ÷ç÷
×=-×-==
ç ÷ç ÷ç÷
ç ÷ç ÷ç÷
è øè øèø
AAE
, т.е.
обратная матрица найдена верно.
11-20. Проверить совместность системы уравнений и в случае совме-
стности решить её:
а) по формулам Крамера,
б) матричным способом (с помощью обратной матрицы),
в) методом Гаусса.
1 23
123
123
5 3,
2 4 3 2,
3 3 7.
+ -=
ì
ï
+ -=
í
ï
- - =-
î
х хх
ххх
ххх
ÏÃÓ                                                                                                 Êàô ÂèÏÌ
                     Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1

            -4       0   1
D ( A) = 2           -1 3 = 8 + 4 + 3 + 24 = 39 ¹ 0 , т.е. матрица A невырожденная.
            3        2      2
Значит, существует обратная матрица A-1 . Находим:

        -1 3                                0 1                           0        1
A11 =                = -8 ;     A21 = -             = 2;          A31 =                = 1;
        2        2                          2 2                           -1 3
            2 3                         -4 1                                  -4 1
A12 = -               =5;       A22 =               = -11;        A32 = -                  = 14 ;
            3 2                         3       2                              2       3
        2 -1                              -4 0                            -4       0
A13 =                = 7;       A23 = -                 =4;       A33 =                 = 4.
        3        2                          3       2                     2        -1
                             æ 8               2     1 ö
                             ç - 39           39 39 ÷
                                                              -
              æ -8 2  1ö ç                              ÷
            1                   5             11 14 ÷
Тогда A-1 = çç 5 -11 14 ÷÷ = ç             -              .
           39 ç              ç                39 39 ÷
                         ÷ ç 39
                                                     4 ÷÷
              è 7  8  4  ø
                             çç 7             8
                                                        ÷
                              è 39          39 39 ø
                                     æ 8           2      1 ö
                                     ç - 39 - 39 39 ÷
                      æ -4 0 1 ö ç                          ÷ æ1                              0 0ö
                                         5        11     14
  г) Имеем: A × A-1 = çç 2 -1 3 ÷÷ × ç          -           ÷ = ç0                            1 0 ÷÷ = E .
                       ç 3 2 2÷ ç
                                     ç 39         39 39 ÷ çç
                                                                                              0 1 ÷ø
                                                          4 ÷÷ è
                       è          ø                              0
                                     çç 7         8
                                                             ÷
                                      è 39       39 39 ø
                           æ -8 2      1 ö æ -4 0 1 ö æ 1                                     0 0ö
                         1 ç             ÷ ç                ÷ ç
  д) Имеем: A-1 × A = ç 5 -11 14 ÷ × ç 2 -1 3 ÷ = ç 0                                         1 0 ÷÷ = E , т.е.
                       39 ç
                           è7   8      4 ÷ø çè 3 2 2 ÷ø çè 0                                  0 1 ÷ø
обратная матрица найдена верно.

      11-20. Проверить совместность системы уравнений и в случае совме-
стности решить её:
   а) по формулам Крамера,
   б) матричным способом (с помощью обратной матрицы),
   в) методом Гаусса.
                    ì х1 + 5 х2 - х3 = 3,
                    ï
                    í 2 х1 + 4 х2 - 3 х3 = 2,
                    ï3х - х - 3 х = -7.
                    î 1 2            3


                                                         12

Страницы