Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 14 стр.

ÏÃÓ                                                               Êàô ÂèÏÌ
             Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1


  в) Решим систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу систе-
        æ 1 5 -1 3 ö
        ç              ÷
мы C = ç 2 4 -3 2 ÷ и приведём её к ступенчатому виду. Для этого ум-
        ç 3 -1 -3 -7 ÷
        è              ø
ножим первую строку на (-2) и сложим со второй, затем умножим первую
строку на (-3) и сложим с третьей. Разделим третью строку на (-16) и поме-
няем местами вторую и третью строки. Получим:
    æ 1 5 -1 3 ö æ 1 5 -1 3 ö æ 1 5 -1 3 ö æ 1 5 -1 3 ö
    ç               ÷ ç                ÷ ç             ÷ ç                ÷
C = ç 2 4 -3 2 ÷ : ç 0 -6 -1 -4 ÷ : ç 0 -6 -1 -4 ÷ : ç 0 1 0 1 ÷
    ç 3 -1 -3 -7 ÷ ç 0 -16 0 -16 ÷ ç 0 1 0 1 ÷ ç 0 -6 -1 -4 ÷
    è               ø è                ø è             ø è                ø
Далее умножим вторую строку на 6 и сложим с третьей, получим

  æ 1 5 -1 3 ö æ 1 5 -1 3 ö
  ç          ÷ ç            ÷
: ç 0 1 0 1 ÷ : ç 0 1 0 1 ÷ . Затем, из первой строки вычтем вторую,
  ç 0 0 -1 2 ÷ ç 0 0 1 -2 ÷
  è          ø è            ø
умноженную на 5. и прибавим третью. Окончательно получаем

æ 1 5 -1 3 ö æ 1 0 -1 -2 ö æ 1 0 0        -4 ö
ç          ÷ ç           ÷ ç                  ÷
ç 0 1 0  1  :
           ÷ ç 0 1 0   1 ÷ : ç0 1 0       1 ÷ . Откуда следует,
ç 0 0 1 -2 ÷ ç 0 0 1 -2 ÷ ç 0 0 1         -2 ÷ø
è          ø è           ø è
                    x1 = -4, x2 = 1,      x3 = -2 .

                                                   ì3 x + 4 y - z = 0,
                                                   ï
      21-30. Решить однородную систему уравнений í х - 3 y + 5 z = 0,
                                                   ï 4 х + y + 4 z = 0.
                                                   î
    Однородная система уравнений всегда совместна. Если главный опреде-
литель системы D = 0 , то система имеет единственное решение
x = 0, y = 0, z = 0. Если главный определитель системы D ¹ 0 , то система
имеет бесчисленное множество решений.

      Р е ш е н и е.
          3 4 -1
Так как 1 -3      5 = 0 , то система имеет бесчисленное множество решений.
         4 1 4
Возьмём любые два уравнения системы (например, первое и второе) и най-
дём её решение.

                                     14