Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ÏÃÓ Êàô ÂèÏÌ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1
13
Р е ш е н и е. Найдём главный определитель системы
151
2 4 3 14(3) 2(1)(1) 5(3)3 (1)43
313
1(3)(1) 52(3) 16 0.
-
D= - = × ×- + ×- ×- + ×- × -- × × -
--
-×- ×- - × ×- =- ¹
Так как главный определитель системы не равен нулю, то система имеет
единственное решение. Найдём решение системы по формулам Крамера
3
12
123
,,
D
DD
===
DDD
xxx
, где
1
351
2 4 3 64
713
-
D= -=
---
,
2
131
373
-
D = - =-
--
,
3
153
2 4 2 32
317
D==
--
.
Следовательно,
1 23
64 16 32
4,1,2
16 16 16
-
= =- = = = =-
- --
x xx.
б) Для нахождения решения системы с помощью обратной матрицы запи-
шем систему уравнений в матричной форме
=
AXB
. Решение системы име-
ет вид
1
-
=×
XAB
. Находим обратную матрицу
1
-
A
(она существует, так как
() 160
D =D=- ¹
A
).
11
43
15
13
= =-
--
A
;
21
51
16
13
-
=-=
--
A
;
31
51
11
43
-
= =-
-
A
;
12
23
3
33
-
=- =-
-
A
;
22
11
0
33
-
==
-
A
;
32
11
1
23
-
=-=
-
A
;
13
24
14
31
= =-
-
A
;
23
15
16
31
=-=
-
A
;
33
15
6
24
= =-
A
.
1
15 16 11
1
301
16
14 16 6
-
--
æö
ç÷
=-
ç÷
-
ç÷
--
èø
A .
Решение системы
1
2
3
15 16 11 3 45 32 77 4
11
3012 9071
16 16
14 16 6 7 42 32 42 2
- - -++-
æö
æ öæö æ öæö
ç÷
ç ÷ç÷ ç ÷ç÷
= = - × = -+-=
ç÷
ç ÷ç÷ ç ÷ç÷
--
ç ÷ç÷ ç ÷ç÷
ç÷
- -- -++-
è øèø è øèø
èø
x
Xx
x
.
Итак,
1 23
4,1,2
=- = =-
x xx.
ÏÃÓ                                                                                       Êàô ÂèÏÌ
                   Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1


      Р е ш е н и е. Найдём главный определитель системы

    1 5 -1
D = 2 4 -3 = 1 × 4 × (-3) + 2 × (-1) × (-1) + 5 × (-3) × 3 - (-1) × 4 × 3 -
    3 -1 -3
-1 × (-3) × (-1) - 5 × 2 × (-3) = -16 ¹ 0.
Так как главный определитель системы не равен нулю, то система имеет
единственное решение. Найдём решение системы по формулам Крамера
      D            D             D
x1 = 1 , x2 = 2 , x3 = 3 , где
      D            D              D
       3 5 -1                        1 3 -1     1 5 3
D1 = 2      -3 = 64 , D 2 = 2 2 -3 = -16 , D3 = 2 4 2 = 32 .
              4
    -7 -1 -3                3 -7 -3                 3 -1 -7
                    64             -16           32
Следовательно, x1 =     = -4, x2 =     = 1, x3 =     = -2 .
                    -16            -16           -16

 б) Для нахождения решения системы с помощью обратной матрицы запи-
шем систему уравнений в матричной форме AX = B . Решение системы име-
ет вид X = A-1 × B . Находим обратную матрицу A-1 (она существует, так как
D ( A) = D = -16 ¹ 0 ).
          4        3                          5     -1                      5 -1
  A11 =                = -15 ;     A21 = -               = 16 ;    A31 =           = -11 ;
          -1 -3                              -1 -3                          4 -3
              2 -3                           1 -1                           1 -1
  A12 = -              = -3 ;      A22 =            = 0;          A32 = -          = 1;
              3 -3                           3 -3                           2 -3
          2    4                              1   5                        1 5
 A13 =             = -14 ;         A23 = -            = 16 ;      A33 =          = -6 .
          3 -1                                3 -1                         2 4
                                              æ -15 16 -11 ö
                                          1   ç -3 0       ÷.
                                   A-1 =                1
                                         -16 çç            ÷
                                                           ÷
                                              è -14 16 - 6 ø
Решение системы
    æ x1 ö     æ -15 16 -11ö æ 3 ö       æ -45 + 32 + 77 ö æ -4 ö
    ç    ÷   1 ç           ÷   ç   ÷   1 ç               ÷ =ç 1 ÷.
X = ç x2 ÷ =   ç - 3  0  1   ×
                           ÷ ç ÷ 2   =   ç  - 9 + 0 - 7  ÷ ç ÷
    ç x ÷ -16 ç -14 16 -6 ÷ ç -7 ÷ -16 ç -42 + 32 + 42 ÷ ç -2 ÷
    è 3ø       è           ø è ø         è               ø è ø

Итак, x1 = -4,         x2 = 1,   x3 = -2 .


                                                    13

Страницы