Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ÏÃÓ Êàô ÂèÏÌ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1
15
3 4 0,
3 5 0.
+ -=
ì
í
-+=
î
x yz
хyz
4 1 3 1 34
17 , 16 , 13
35 15 13
--
= = =- =- = =-
--
x tty ttz tt
,
где
t
- любое число.
31-40. Даны векторы
rr
rr
abcd
в декартовой системе координат. По-
казать, что векторы
,,
r
rr
abc
образуют базис. Найти координаты вектора
r
d
в
этом базисе (написать разложение вектора
r
d
в базисе
,,
r
rr
abc
).
{ 1,7, 4}, { 1,2,1}, {2,0,3}, {1,1, 1}.
=-- =- = =-
rr
rr
d a bc
Р е ш е н и е.
Векторы
,,
r
rr
abc
образуют базис, если определитель, составленный из
координат этих векторов не равен нулю. Вычислим
121
2 0 1 0620(3)(4)150
131
-
D= = + + - -- -- = ¹
-
, следовательно, век-
торы
,,
r
rr
abc
образуют базис. Разложение вектора
r
d
по базису
,,
r
rr
abc
имеет вид:
=a +b +g
rr
rr
d abc
, где
,,
abg
- координаты вектора
r
d
в бази-
се
,,
r
rr
abc
. Для нахождения
,,
abg
составим систему уравнений
2 1,
2 7,
3 4.
-a+ b+g=-
ì
ï
a+g=
í
ï
a+ b-g=-
î
, коэффициенты которой равны координатам базис-
ных векторов, а свободные члены – координатам вектора
r
d
. Главный
определитель системы был вычислен выше и равен 15, поэтому систе-
му можно решить по формулам Крамера
1
121
7 0 1 30
431
-
D==
--
,
2
1 11
271 15
1 41
--
D = =-
--
,
3
121
2 0 7 45
134
--
D==
-
.
Следовательно,
30 15 45
2, 1,3
15 15 15
-
a==b= =-g==
и
23
= -+
rr
rr
dabc
.
41-50. Даны вершины треугольника АВС: А(4; 3), В(-3; -3), С(2; 7).
ÏÃÓ                                                                             Êàô ÂèÏÌ
               Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1

ì3 x + 4 y - z = 0,
í
î х - 3 y + 5 z = 0.
      4 -1                     3 -1                   3   4
 x=            t = 17t , y = -      t = -16t ,   z=           t = -13t ,
      -3 5                     1 5                    1 -3
где t - любое число.

                               r r r r
      31-40.   Даны векторы a , b , c , d в декартовой системе координат. По-
                       r r r                                              r
казать, что векторы a , b , c образуют базис. Найти координаты вектора d в
                                              r           r r r
этом базисе (написать разложение вектора d в базисе a , b , c ).
     r               r              r             r
    d = {-1,7, - 4}, a = {-1,2,1}, b = {2,0,3}, c = {1,1, -1}.
     Р е ш е н и е.
          r r r
Векторы a , b , c образуют базис, если определитель, составленный из
координат     этих    векторов     не   равен    нулю.     Вычислим
    -1 2 1
=
D     2   0    1= 0 + 6 + 2 - 0 - (-3) - ( -4)
                                            = 15 ¹ 0 , следовательно, век-
      1    3 -1
       r r r                                         r            r r r
торы a , b , c образуют базис. Разложение вектора d по базису a , b , c
               r  r     r   r                                  r
имеет вид: d = aa + bb + gc , где a, b, g - координаты вектора d в бази-
    r r r
се a , b , c . Для нахождения a, b, g составим систему уравнений
ì -a + 2b + g = -1,
ï
í 2a + g = 7,       , коэффициенты которой равны координатам базис-
ïa + 3b - g = -4.
î                                                            r
ных векторов, а свободные члены – координатам вектора d . Главный
определитель системы был вычислен выше и равен 15, поэтому систе-
му можно решить по формулам Крамера
      -1 2 1                  -1 -1 1                  -1 2 -1
D1 = 7     01 = 30 , D 2 = 2 7 1 = -15 , D3 = 2                     0      7 = 45 .
    -4 3 -1                  1 -4 -1                   1            3 -4
                   30           -15            45
Следовательно, a =     = 2, b =      = -1, g =    =3 и
                   15r          15             15
                          r r      r
                    d = 2a - b + 3c .

      41-50. Даны вершины треугольника АВС: А(4; 3), В(-3; -3), С(2; 7).



                                           15

Страницы