Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ÏÃÓ Êàô ÂèÏÌ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1
16
Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые
коэффициенты; 3) уравнение высоты СД и её длину; 4) уравнение медиа-
ны АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой СД; 5)
уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ; 6)
координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно
прямой СД.
Р е ш е н и е.
1) Воспользуемся формулой нахождения расстояния между двумя точками:
22
21 21
()()
= - +-
d xx yy
, где
11 22
(,),(,)
xy xy
- координаты этих точек.
Следовательно, длина стороны АВ равна
22
( 3 4) ( 3 3) 49 36 85 9,2
= -- +-- = + = »AB .
2) Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки:
21 21
--
=
--
xx yy
xxyy
.
Уравнение стороны АВ:
43
34 33
--
=
-- --
xy
, откуда следует
6( 4) 7( 3)
-= -Þ
xy
6 7 30
- -=Þ
xy
63
77
=-
yx. Последнее уравнение с угловым коэффициен-
том, из которого следует,
6
7
=
AB
k .
Уравнение стороны ВС:
( 3) ( 3) 3 3
10( 3) 5( 3)
2 ( 3) 7 ( 3) 5 10
-- -- + +
= Þ = Þ += +Þ
-- --
x y xy
xy
2 30
-+=
xy
, откуда следует
23
=+
yx
и
2
=
BC
k .
3) Высота СД перпендикулярна стороне АВ, воспользуемся условием
перпендикулярности
12
1
× =-
kk , из которого найдём
17
6
=- =-
СД
AB
k
k
.
Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку с за-
данным угловым коэффициентом
00
()
-=-
yy kxx
. Подставим в это уравне-
ние вместо
00
,
xy
координаты точки С и
СД
k
, получим уравнение высоты
СД:
7
7 ( 2) 7 6 56 0
6
-=- -Þ+-=
y x xy .
 ÏÃÓ                                                                        Êàô ÂèÏÌ
               Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1

 Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые
 коэффициенты; 3) уравнение высоты СД и её длину; 4) уравнение медиа-
 ны АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой СД; 5)
 уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ; 6)
 координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно
 прямой СД.

       Р е ш е н и е.
 1) Воспользуемся формулой нахождения расстояния между двумя точками:
 d = ( x2 - x1 )2 + ( y2 - y1 )2 , где ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) - координаты этих точек.
 Следовательно,               длина               стороны              АВ          равна
=AB      (-3 - 4) 2 + (-=
                        3 - 3) 2    =
                                    49 + 36      85 » 9,2 .

 2)     Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки:
                                  x - x1     y - y1
                                          =         .
                                 x2 - x1 y2 - y1
                                 x-4       y -3
 Уравнение стороны АВ:                  =        , откуда следует 6( x - 4) = 7( y - 3) Þ
                                -3 - 4 -3 - 3
                             6    3
 6 x - 7 y - 3 = 0 Þ y = x - . Последнее уравнение с угловым коэффициен-
                             7    7
                                        6
 том, из которого следует, k AB = .
                                        7
 Уравнение стороны ВС:
        x - (-3) y - (-3)        x+3 y+3
                  =            Þ        =       Þ 10( x + 3) = 5( y + 3) Þ
        2 - (-3) 7 - (-3)          5       10
        2 x - y + 3 = 0 , откуда следует y = 2 x + 3 и k BC = 2 .

 3)   Высота СД перпендикулярна стороне АВ, воспользуемся условием
                                                                     1     7
 перпендикулярности k1 × k2 = -1 , из которого найдём kСД = -           = - .
                                                                   k AB    6
 Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку с за-
 данным угловым коэффициентом y - y0 = k ( x - x0 ) . Подставим в это уравне-
 ние вместо x0 , y0 координаты точки С и kСД , получим уравнение высоты
              7
 СД: y - 7 = - ( x - 2) Þ 7 x + 6 y - 56 = 0 .
              6




                                           16

Страницы