Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ÏÃÓ Êàô ÂèÏÌ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1
19
12 12 12
222 222
111 222
cos(,)
xx yy zz
xyz xyz
++
×
==
++× ++
ab
ab
ab
.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов
a,b,c
с общим нача-
лом в точке О называется правой, если кратчайший поворот от вектора
a
к
вектору
b
наблюдается из конца вектора с происходящим против движения
часовой стрелки. В противном случае данная тройка называется
Векторным произведением векторов
a
и
b
называется вектор, обо-
значаемый с = а
´
b, который удовлетворяет следующим трем условиям:
1) sin( , );
2),;
3)
тройка , , правая.
=
^^
-
c ab ab
cacb
abc
Перечислим основные свойства векторного
произведения векторов:
1) ( );
2) ( ) ( ) ( );
3)();
4)0;
´=-´
l´=l´ =´l
´ + =´+´
´=Û
ab ba
ababab
a bc abac
a b ab
P
5)
S
´=
ab , где S — площадь параллелограмма, построенного на век-
торах
a
и
b
, имеющих общее начало в точке О.
Если
111 222
(,,), (,,)
xyz xyz
==
ab, то векторное произведение а
´
b
выражается через координаты данных векторов а и b следующим образом:
111
222
xyz
xyz
´=
i jk
ab .
а
b
c
O
+V
Правая тройка
O
Левая тройка
–V
а
c
b
а
b
c = a×b
S
О
ÏÃÓ                                                                                     Êàô ÂèÏÌ
                Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1

                              a×b            x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
                cos(a¶
                     , b) =       =                                                 .
                              ab      x12 + y12 + z12 ×          2     2
                                                            x2 + y2 + z2        2


     Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a, b, c с общим нача-
лом в точке О называется правой, если кратчайший поворот от вектора a к
вектору b наблюдается из конца вектора с происходящим против движения
часовой стрелки. В противном случае данная тройка называется левой.

                                                                 b
                                                        O                  –V
                         +V
            c
                                                                 а
                     b                              c
                O

                     а

                    Правая тройка                           Левая тройка


      Векторным произведением векторов a и b называется вектор, обо-
значаемый с = а ´ b, который удовлетворяет следующим трем условиям:
      1) c = a b sin(a¶
                      , b);
                                                                 c = a×b
      2) c ^ a, c ^ b;
                                                                            b
      3) тройка a, b, c - правая.
                                                                                S
Перечислим основные свойства векторного                     О
произведения векторов:
                                                                       а
     1) a ´ b = -(b ´ a);
      2) (la) ´ b = l(a ´ b) = a ´ (lb);
      3) a ´ (b + c) = a ´ b + a ´ c;
      4) a ´ b = 0 Û a P b;
      5) a ´ b = S , где S — площадь параллелограмма, построенного на век-
торах a и b , имеющих общее начало в точке О.
      Если a = ( x1 , y1 , z1 ), b = ( x2 , y2 , z2 ) , то векторное произведение а ´ b
выражается через координаты данных векторов а и b следующим образом:
                                                   i      j k
                                      a ´ b = x1    y1      z1 .
                                              x2   y2       z2




                                            19

Страницы