Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ÏÃÓ Êàô ÂèÏÌ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1
20
Смешанным произведением векторов а, b, с называется число
()
´×
abc
.
Перечислим основные свойства смешанного произведения векторов:
1)
() ()
´×=×´
ab
сabс
, поэтому смешанное произведение можно обо-
значать проще:
ab
;
2) abc = bca = cab = –bac = –cba = –acb;
3)
() ()
´×=×´
ab
сabс
, поэтому смешанное произведение можно обо-
значать проще:
ab
;
4) abc = bca = cab = –bac = –cba = –acb;
5)геометрический смысл смешанного произведения заключается в сле-
дующем: abc
V
=±
, где V — объем параллелепипеда, построенного на пере-
множаемых векторах, взятый со знаком « + », если тройка векторов а, b, с -
правая, или со знаком «–», если она левая;
6) abc = 0
Û
a, b, c компланарны.
Если
111 2 22 333
( , , ), ( , , ), ( , , )
xyz xyz xyz
===
abc то
111
222
333
xyz
xyz
xyz
=abc .
51-60. Даны координаты вершин пирамиды А
1
А
2
А
3
А
4
.
Найти: 1) длину ребра А
1
А
2
; 2) угол между рёбрами А
1
А
2
и А
1
А
3
; 3) угол ме-
жду ребром А
1
А
4
и гранью А
1
А
2
А
3
; 4) площадь грани А
1
А
2
А
3
; 5) объём пи-
рамиды; 6) уравнение прямой А
1
А
2
; 7) уравнение плоскости А
1
А
2
А
3
; 8) урав-
нение высоты, опущенной из вершины А
4
на грань А
1
А
2
А
3
.
А
1
(4; 7; 8), А
2
(-1; 13; 0), А
3
(2; 4; 9), А
4
(1; 8; 9).
Р е ш е н и е.
1) Воспользуемся формулой нахождения расстояния между двумя точ-
ками:
2 22
21 21 21
()( )()
= - +- +-
d xx yy zz
, где
111 2 22
(,,),(, ,)
xyz x yz
-
координаты этих точек. Следовательно, длина ребра А
1
А
2
равна
2 22
12
( 1 4) (13 7) (0 8) 25 36 64 125 5 5
=--+-+-= ++= =AA
2) Угол между рёбрами А
1
А
2
и А
1
А
3
равен углу между направляющими
векторами
12
{ 1 4;13 7;0 8} { 5;6; 8}
=-- --=--
uuuuur
AA и
13
{2 4; 4 7;9 8} { 2; 3;1}
= - - - =--
uuuuur
AA .
ÏÃÓ                                                                                   Êàô ÂèÏÌ
                 Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1

     Смешанным произведением векторов а, b, с называется число (a ´ b) × c .
      Перечислим основные свойства смешанного произведения векторов:
      1) (a ´ b) × с = a × (b ´ с) , поэтому смешанное произведение можно обо-
значать проще: abс ;
      2) abc = bca = cab = –bac = –cba = –acb;
      3) (a ´ b) × с = a × (b ´ с) , поэтому смешанное произведение можно обо-
значать проще: abс ;
      4) abc = bca = cab = –bac = –cba = –acb;
      5)геометрический смысл смешанного произведения заключается в сле-
дующем: abc = ±V , где V — объем параллелепипеда, построенного на пере-
множаемых векторах, взятый со знаком « + », если тройка векторов а, b, с -
правая, или со знаком «–», если она левая;
      6) abc = 0 Û a, b, c компланарны.
         Если a = ( x1 , y1 , z1 ), b = ( x2 , y2 , z2 ), c = ( x3 , y3 , z3 ) то

                                                x1    y1    z1
                                        abc = x2      y2    z2 .
                                                x3    y3    z3


        51-60. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4.
Найти: 1) длину ребра А1А2; 2) угол между рёбрами А1А2 и А1А3; 3) угол ме-
жду ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объём пи-
рамиды; 6) уравнение прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2А3; 8) урав-
нение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.
          А1(4; 7; 8), А2(-1; 13; 0), А3(2; 4; 9), А4(1; 8; 9).

        Р е ш е н и е.
1)       Воспользуемся формулой нахождения расстояния между двумя точ-
ками: d = ( x2 - x1 ) 2 + ( y2 - y1 )2 + ( z2 - z1 )2 , где ( x1 , y1 , z1 ), ( x2 , y2 , z2 ) -
координаты этих точек. Следовательно, длина ребра А1А2 равна
 A1 A2 = (-1 - 4) 2 + (13 - 7) 2 + (0 - 8) 2 = 25 + 36 + 64 = 125 = 5 5
2)     Угол между рёбрами А1А2 и А1А3 равен углу между направляющими
            uuuuur
векторами A1 A2 = {-1 - 4;13 - 7;0 - 8} = {-5;6; -8} и
uuuuur
A1 A3 = {2 - 4;4 - 7;9 - 8} = {-2; -3;1} .




                                                 20

Страницы