Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ÏÃÓ Êàô ÂèÏÌ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1
21
12 13
2 2 2 2 22
12 13
()
(5)(2) 6(3) (8)1
cos
(5) 6 (8) (2) (3) 1
16
0,38.
125 14
×
-×-+×-+-×
j===
×
- + +- × - +- +
-
= »-
×
uuuuur uuuuur
uuuuur uuuuur
AA AA
AA AA
Следовательно,
arccos( 0,38) 112 .
j= -»
o
3) Для нахождения угла между ребром А
1
А
4
и гранью А
1
А
2
А
3
надо най-
ти вектор, перпендикулярный грани А
1
А
2
А
3
, который называется нормаль-
ным вектором и равен векторному произведению векторов
12
uuuuur
AA
и
13
, т.е.
12 13
6 8 5 8 56
568
31 21 23
2 31
18 21 27 { 18;21;27}.
i jk
n AA AA i j k
ijk
----
=´=--=-+=
- - --
--
=- + + =-
uuuuur uuuuur
r
14
{1 4 ; 8 7 ; 9 8} { 3; 1; 1}
= - - - =-
uuuuur
AA .
Синус угла между ребром А
1
А
4
и гранью А
1
А
2
А
3
найдём по формуле
14
222 222
11
(3)(18) 121 127
sin
( 3) 1 1 ( 18) 21 27
102
0,8.
11 3 166
×
- ×- +× +×
f===
×
-++×- ++
=»
×
uuuuur
r
uuuur
r
AAn
AAn
Следовательно, угол между ребром А
1
А
4
и гранью А
1
А
2
А
3
равен
arcsin0,8 52
f==
o
.
4) Площадь грани А
1
А
2
А
3
равна
123
12 13
113
{ 18;21;27} 166 19,3
222
AAA
S AA AA=´=- =»
uuuuur uuuuur
.
5) Объём пирамиды равен
( )
12 13 14
568
1 11
, , 2 3 1 15 16 18 72 5 12 17.
6 66
311
V AA AA AA
--
= =-- = +-+++=
-
uuuuur uuuuur uuuuur
6)
Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки
1 11
21 21 21
---
==
---
xx yy zz
xxyyzz
. Тогда уравнение прямой А
1
А
2
можно записать в
виде
4 78
14137 08
- --
==
-- --
x yz
или
478
568
---
==
--
xyz
.
ÏÃÓ                                                                     Êàô ÂèÏÌ
                   Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1
             uuuuur uuuuur
            ( A1 A2 × A1 A3 )      (-5) × (-2) + 6 × (-3) + (-8) × 1
    cos j = uuuuur uuuuur =                                              =
             A1 A2 × A1 A3        2    2        2          2
                              (-5) + 6 + (-8) × (-2) + (-3) + 1      2 2

             -16
    =                  » -0,38.
            125 × 14
Следовательно, j = arccos( -0,38) » 112o.

3)      Для нахождения угла между ребром А1А4 и гранью А1А2А3 надо най-
ти вектор, перпендикулярный грани А1А2А3, который называется
                                                       uuuuur нормаль-
                                                                uuuuur
ным вектором и равен векторному произведению векторов A1 A2 и A1 A3 , т.е.
                     i   j k
 r uuuuur uuuuur                6 -8       -5 -8    -5 6
n = A1 A2 ´ A1 A3 = -5 6 -8 = i        - j       +k          =
                                -3 1       -2 1     -2 -3
                    - 2 -3 1
= -18i + 21 j + 27 k = {-18;21;27}.
uuuuur
A1 A4 = {1 - 4;8 - 7;9 - 8} = {-3;1;1} .
Синус угла между ребром А1А4 и гранью А1А2А3 найдём по формуле
            uuuuur r
            A1 A4 × n           (-3) × (-18) + 1 × 21 + 1 × 27
    sin f = uuuur r =                                            =
                  ×
            A1 A1 n            2    2    2           2
                          (-3) + 1 + 1 × ( -18) + 21 + 27    2 2

             102
   =            » 0,8.
     11 × 3 166
Следовательно, угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3 равен
f = arcsin 0,8 = 52o .
4)       Площадь грани А1А2А3 равна
                            1 uuuuur uuuuur 1              3
             S A1 A2 A3 = A1 A2 ´ A1 A3 = {-18;21;27} =       166 » 19,3 .
                            2                 2            2
5)       Объём пирамиды равен
                                     -5 6 -8
     1 uuuuur uuuuur uuuuur
V=
     6
        (                    )     1               1
         A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 = -2 -3 1 = 15 + 16 - 18 + 72 + 5 + 12 = 17. 6)
                                   6               6
                                     -3 1 1
Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки
  x - x1     y - y1        z - z1
          =            =          . Тогда уравнение прямой А1А2 можно записать в
 x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1
         x-4         y-7 z -8              x - 4 y -7 z -8
виде             =           =       или        =    =      .
         -1 - 4 13 - 7 0 - 8                -5     6    -8




                                          21

Страницы