Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 22 стр.

ÏÃÓ                                                                                   Êàô ÂèÏÌ
                Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1

7) Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки с ко-
ординатами ( x1 , y1 , z1 ), ( x2 , y2 , z 2 ), ( x3 , y3 , z3 )
                      x - x1        y - y1        z - z1
                       x2 - x1    y2 - y1    z2 - z1 = 0 .
                       x3 - x1    y3 - y1    z3 - z1
Тогда уравнение плоскости А1А2А3 запишется в виде
  x - 4 y -7 z -8
                                    6 -8            -5 -8               -5 6
 -1 - 4 13 - 7 0 - 8 = 0 Þ ( x - 4)      - ( y - 7)          + ( z - 8)       =0
                                    -3 1            -2 1                -2 -3
 2- 4 4-7 9-8
или после преобразований, получим 6 x - 7 y - 9 z + 97 = 0 .

8) Уравнение высоты A4 H , опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3 по-
лучим исходя из условия перпендикулярности прямой A4 H и плоскости
А1А2А3. В качестве направляющего вектора прямой можно взять нормальный
        r
вектор n = {6; -7; -9} плоскости А1А2А3. И тогда уравнение высоты запишет-
           x -1 y - 8 z - 9
ся в виде       =       =     .
             6      -7     -9

      61-70. Привести уравнение к каноническому виду, определить тип кри-
вой и построить её.

П р и м е р 1 . 4 x 2 + 9 y 2 + 32 x - 54 y + 109 = 0 .

Р е ш е н и е . Дополним члены, содержащие x , и члены, содержащие y , до
полных квадратов. Получим :
4( x 2 + 8 x + 16) - 64 + 9( y 2 - 6 y + 9) - 81 + 109 = 0 Þ 4( x + 4) 2 + 9( y - 3) 2 = 36 Р
азделим последнее уравнение на 36 и приведём к каноническому уравнению
( x + 4)2 ( y - 3) 2                                                        ó
         +           = 1.
     9        4                                                         7
Это уравнение эллипса, центр                                            6
которого лежит в точке С(-4; 3),                                        5
большая полуось a = 3 , малая                                           4

полуось b = 2 .                                           Ñ
                                                                        3
                                                                        2
                                                                        1
                                                                        0
                                                          -4 -3 -2 -1       1   2   3 4   5 6 7   õ
                                                                    -2
                                                                    -3


                                              22