Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 24 стр.

ÏÃÓ                                                                       Êàô ÂèÏÌ
              Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1

      71-80. Построить кривую в полярной системе координат.

            Полярные координаты точки и уравнение линии в полярных
                            координатах.

        Положение некоторой точки М на плоскости в прямоугольной декар-
товой системе координат Oxy определяется числами х и у, т. е. M ( x, y ) . Эту
точку можно задать и другим способом, например с помощью расстояния
     uuuur
r = OM и угла j , отсчитываемого против хода часовой стрелки от оси Ох,
                                                     uuuur
называемой полярной осью, до радиуса-вектора OM . В этом случае исполь-
зуется запись M (r, j) . Расстояние r называется полярным радиусом, j -
полярным углом точки М, а точка О — по-
люсом.                                                   ó
Связь между декартовыми х, у и поляр-                                Ì(x,y)(M( r, j ))
                                                              r       y
ными r, j координатами точки М при ука-                         j
занном расположении осей Ох и Оу, векто-                                  õ
    uuuur                                                O     õ    N
ра OM и угла j выражается формулами:
               ì x = r cos j,
               ï
               í y = r sin j,
               ïr ³ 0, 0 £ j < 2p.
               î
        Декартовы координаты точки М можно находить по ее полярным коор-
                                                       x                   y
динатам по формулам: r = x 2 + y 2 , cos j =                 , sin j =           .
                                                     2     2             2    2
                                                    x +y                x +y
    Эти формулы дают также возможность переходить от уравнений линий,
заданных в декартовых координатах, к их уравнениям в полярных координа-
тах, и наоборот.
П р и м е р 1 . Построить точки, заданные полярными координатами: М1(2;
p /6), М2(1; 3 p /4), М3(3; 5 p /4), М4(2; 5 p /6), М5(3/2; p /2), М6(4; 0), М7(3;
7 p /4).
Решение.
   Вначале проведем луч под углом j
к полярной оси Ох, затем на построен-                       М5    М1
ном луче отложим от полюса О отрезок                М4   М2 r = 2
длиной r . В итоге найдем все семь то-                             p6
чек. Отрезок ОЕ определяет единицу                        О      Е             М6
длины.
                                               М3
                                                                     М7



                                         24