Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 26 стр.

ÏÃÓ                                                                                       Êàô ÂèÏÌ
                Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1

имно однозначное соответствие, поэто-
му данная плоскость называется ком-                              ó
плексной и обозначается символом ( Z ).                                       Ì( z = x + iy )
                                                                 y
      Множество всех комплексных чи-
                                                                       rj
сел обозначается буквой С. Отметим,
что R Î C . Точки, соответствующие дей-                          O         õ À      õ
ствительным числам z = х, расположены
на оси Ох, которая называется действи-                        -y              M ( z = x - iy )
тельной осью комплексной плоскости, а
точки, соответствующие мнимым числам
z = iy,— на оси Оу, которую называют мнимой осью комплексной плоскости.
      Два комплексных числа равны, если соответственно равны их действи-
тельные и мнимые части. Числа вида z = x + iy и z = x - iy называются со-
пряженными.
   Если z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 — два комплексных числа, то ариф-
метические операции над ними выполняются по следующим правилам:
       z1 + z2 = ( x1 + iy1 ) + ( x2 + iy2 ) = ( x1 + x2 ) + i ( y1 + y2 );
        z1 - z2 = ( x1 + iy1 ) - ( x2 + iy2 ) = ( x1 - x2 ) + i ( y1 - y2 );
        z1 × z2 = ( x1 + iy1 ) × ( x2 + iy2 ) = ( x1x2 - y1 y2 ) + i ( x2 y1 + x1 y2 );
        z1 x1 + iy1 z1 × z2 x1 x2 + y1 y2   x y -x y
          =        =        =             +i 2 1 1 2.
        z2 x2 + iy2 z2 × z2   x22 + y22       x22 + y22
Последняя операция имеет место при условии, что z2 ¹ 0 . В результате по-
лучаем, вообще говоря, комплексные числа. Указанные операции над ком-
плексными числами обладают всеми свойствами соответствующих
операций над действительными числами, т. е. сложение и умножение комму-
тативны, ассоциативны, связаны отношением дистрибутивности и для них
существуют обратные операции вычитания и деления (кроме деления на
нуль).
                  uuuur
       Число r = OM = z × z называется модулем комплексного числа z .
                                     uuuur
Угол j , образованный вектором OM с положительным направлением оси
Ох, называется аргументом комплексного числа и обозначается j = Argz .
       Очевидно, что для всякого комплексного числа z = x + iy справед-
ливы формулы:
                               x = r cos j, y = r sin j,
                                          x          y       y
                r = x 2 + y 2 , cos j = , sin j = , j = arctg ,
                                          r          r       x
где главное значение аргумента j = arg z удовлетворяет следующим усло-
виям: -p < arg z £ p или 0 £ arg z < 2p .


                                                 26