Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ÏÃÓ Êàô ÂèÏÌ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1
27
Всякое комплексное число
=+
z x iy
может быть представлено в
тригонометрической форме
(cos sin)
= j+j
zri
или в показательной форме
j
=
i
z re
(так как по формуле Эйлера
j
=j+j
i
ei).
Если
11112222
(cos sin ), (cos sin )
= j+j = j+j
zrizri то справедливы
формулы:
12
12
()
1 2 12 1 2 1 2 12
()
111
12 12
222
(cos( ) sin( )) ,
(cos( ) sin( )) , ( 0)
j +j
j -j
= j+j + j+j =
= j -j + j -j = ¹
i
i
z z rr i rr e
zrr
i ez
zrr
(cos sin)
j
= j+ j=
n n n in
z r n i n re
.
Последняя формула называется формулой Муавра.
Для извлечения корня
n
-й степени
(1,)
>Î
n nZ
из комплексного числа
используется формула, дающая
n
значений этого корня, которые лежат в
вершинах правильного
n
- угольника, вписанного в окружность радиуса
n
Rr
= с центром в начале координат:
22
cos sin , 0,1,...( 1).
j+p j+p
æö
== + =-
ç÷
èø
nn
k
kk
zzr i kn
nn
81-90. Дано комплексное число
4
1
=
-+
a
i
. Требуется: 1) записать число
a
в алгебраической и тригонометрической форме; 2) найти все корни уравне-
ния
32
=
za
.
Решение.
1) Представим число в алгебраической форме, для чего числитель и зна-
менатель умножим на сопряжённое знаменателю число:
4 4(1) 4(1)
22
1 (1 )(1 ) 2
-- --
= = = =--
-+ -+ --
ii
ai
i ii
.
Получили комплексное число в алгебраической форме, у которого
Re2,Im2
= =- = =-
xa ya
.
Найдём модуль и аргумент этого числа
22 22
22
( 2) ( 2) 2 2, cos , sin ,
22
= + = - + - = j= =- j= =-
xy
rxy
rr
Откуда следует, что
3
4
p
j=-
и тригонометрическая форма числа имеет вид:
ÏÃÓ                                                                           Êàô ÂèÏÌ
              Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 1

     Всякое комплексное число z = x + iy может быть представлено в
тригонометрической форме z = r (cos j + i sin j) или в показательной форме
z = reij (так как по формуле Эйлера eij = cos j + i sin j ).
      Если z1 = r1 (cos j1 + i sin j1 ), z2 = r2 (cos j2 + i sin j2 ) то справедливы
формулы:
            z1 z2 = r1r2 (cos(j1 + j2 ) + i sin(j1 + j2 )) = r1r2 ei (j1 +j2 ) ,
            z1 r1                                   r
              = (cos(j1 - j2 ) + i sin(j1 - j2 )) = 1 ei (j1 -j2 ) , ( z ¹ 0)
            z2 r2                                   r2
                           z n = r n (cos nj + i sin nj) = r n einj .
Последняя формула называется формулой Муавра.
      Для извлечения корня n -й степени (n > 1, n Î Z ) из комплексного числа
используется формула, дающая n значений этого корня, которые лежат в
вершинах правильного n - угольника, вписанного в окружность радиуса
R = n r с центром в начале координат:

                            æ     j + 2pk         j + 2pk ö
             zk = n z = n r ç cos         + i sin         ÷ , k = 0,1,...(n - 1).
                            è        n               n ø

                                        4
      81-90. Дано комплексное число a =      . Требуется: 1) записать число
                                      -1 + i
a в алгебраической и тригонометрической форме; 2) найти все корни уравне-
ния z 3 = a 2 .
      Решение.
1)    Представим число в алгебраической форме, для чего числитель и зна-
менатель умножим на сопряжённое знаменателю число:
                         4       4(-1 - i )      4(-1 - i)
                  a=         =                 =           = -2 - 2i .
                       -1 + i (-1 + i)(-1 - i)      2
Получили комплексное число в алгебраической форме, у которого
x = Re a = -2, y = Im a = -2 .
Найдём модуль и аргумент этого числа
                                             x     2          y     2
r = x 2 + y 2 = (-2) 2 + (-2)2 = 2 2, cos j = = -    , sin j = = -    ,
                                             r    2           r    2
                             3p
Откуда следует, что j = -       и тригонометрическая форма числа имеет вид:
                              4


                                            27

Страницы