Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ÏÃÓ Êàô ÂèÏÌ
Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 3.
41
158. а)
2
0
11
lim
sin
x
xx
x
®
æö
-
ç÷
èø
; б)
()
1
lim ln
x
x
x
®¥
.
159. а)
0
1
lim
arctg
x
x
xx
®
æö
-
ç÷
èø
; б)
0
lim (1 )
x
x
x
®
+ .
160. а)
0
11
lim
1
x
x
x
e
®
æö
-
ç÷
-
èø
; б)
1
0
lim (1 2 )
x
x
x
®
- .
161-170. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
()
fx
на отрезке
[;]
ab
.
161.
( ) 2sin
fxxx
=-
,
[
]
0;2
p
. 162.
( ) 2cos
fxxx
=+
,
[
]
4;3
-pp
.
163.
2
2
()2
x
fxex
-
=+,
[
]
1;1
-. 164.
2
()21
fxxx
= -+
,
[
]
0;1
.
165.
2
( ) 3ln
fxxx
x
=-- ,
[
]
1;4
. 166.
2
2
()
x
f x xe
-
= ,
[
]
0;1
.
167.
4
( ) 81
fx xx
=-
,
[
]
1;4
- . 168.
3
( ) 3ln
fxxx
=- ,
[
]
1 2;2
.
169.
()4arctg 21
fx xx
= -+
,
[
]
0;1
. 170.
2
()
x
fxx
е
-
= ,
[
]
1;2
- .
171. Требуется изготовить открытый сверху цилиндрический сосуд
максимальной вместимости. Каковы должны быть размеры сосуда (радиус
R и высота H), если на его изготовление имеется S = 84, 82 дм
2
материвши
(
27
S
»p
)?
172. Требуется вырыть яму конической формы (воронку) с образую-
щей а = 3м. При какой глубине объём воронки будет наибольшим?
173. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак максималь-
ной вместимости. Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота H),
если на его изготовление имеется S = 18,84 м
2
материала (
6
S
»p
)?
174. Резервуар, открытый сверху, имеет форму прямоугольного па-
раллелепипеда с квадратным основанием. Каковы должны быть размеры ре-
зервуара, чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материа-
ла, если он должен вмещать 256 л воды?
175. Требуется вырыть яму цилиндрической формы с круглым осно-
ванием и вертикальной боковой поверхностью заданного объема V = 25 м
2
(
8
V
»p
). Каковы должны быть линейные размеры ямы (радиус R и высота
Н), чтобы на облицовку ее дна и боковой поверхности пошло наименьшее
количество материала?
176. Из круглого бревна радиуса
23
R = требуется вырезать балку
прямоугольного сечения с основанием b и высотой h. Прочность балки про-
 ÏÃÓ                                                                                Êàô ÂèÏÌ
                                 Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 3.

                  æ 1        1 ö                               1x
    158. а) lim ç          -    ÷;            б) lim ( ln x )       .
            x ® 0 è x sin x x 2 ø                   x ®¥
                  æ x        1ö
    159. а) lim ç          - ÷;                б) lim (1 + x )ln x .
            x ® 0 è arctg x x ø                     x ®0
                 æ1     1 ö
    160. а) lim ç -          ÷;                б) lim (1 - 2 x )1 x .
            x ®0 è x e x - 1 ø                      x ®0

       161-170. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f ( x) на отрезке [a; b] .
161. f ( x ) = x - 2sin x , [ 0; p 2] .       162. f ( x ) = x + 2cos x , [ - p 4; p 3] .
                    2
163. f ( x ) = e- x + 2 x 2 , [ -1;1] .       164. f ( x) = 2 x 2 - x + 1 , [0;1] .
                    2                                                   2
165. f ( x) = x -     - 3ln x , [1;4] .       166. f ( x ) = xe-2 x , [0;1] .
                    x
167. f ( x) = 81x - x 4 ,      [ -1;4] .      168. f ( x ) = x3 - 3ln x , [1 2;2 ] .

169. f ( x ) = 4arctg x - 2 x + 1 , [0;1] .   170. f ( x ) = x 2 е- x , [ -1;2] .


       171. Требуется изготовить открытый сверху цилиндрический сосуд
максимальной вместимости. Каковы должны быть размеры сосуда (радиус
R и высота H), если на его изготовление имеется S = 84, 82 дм2 материвши
( S » 27p )?
       172. Требуется вырыть яму конической формы (воронку) с образую-
щей а = 3м. При какой глубине объём воронки будет наибольшим?
       173. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак максималь-
ной вместимости. Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота H),
если на его изготовление имеется S = 18,84 м2 материала ( S » 6p )?
       174. Резервуар, открытый сверху, имеет форму прямоугольного па-
раллелепипеда с квадратным основанием. Каковы должны быть размеры ре-
зервуара, чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материа-
ла, если он должен вмещать 256 л воды?
       175. Требуется вырыть яму цилиндрической формы с круглым осно-
ванием и вертикальной боковой поверхностью заданного объема V = 25 м2
(V » 8p ). Каковы должны быть линейные размеры ямы (радиус R и высота
Н), чтобы на облицовку ее дна и боковой поверхности пошло наименьшее
количество материала?
     176. Из круглого бревна радиуса R = 2 3 требуется вырезать балку
прямоугольного сечения с основанием b и высотой h. Прочность балки про-

                                               41

Страницы