Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 43 стр.

 ÏÃÓ                                                                   Êàô ÂèÏÌ
             Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 3.

          РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ
                       РАБОТЫ № 3.

                          Производная и её приложения

     Пусть функция y = f ( x) определена в промежутке [a, b]. Исходя из
некоторого значения x = x0 независимой переменной придадим ему прира-
щение Dx, не выводящие его из промежутка [a, b], так что и новое значение
принадлежит промежутку [a, b]. Тогда значение y = f ( x) функции заменится
новым значением y + Dy = f ( x0 + Dx ), т.е. получим приращение
                          Dy = Df ( x0 ) = f ( x0 + Dx ) - f ( x0 ).
     Предел отношения приращения функции Dy к вызвавшему его при-
ращению Dx независимой переменной при стремлении Dx ® 0, т.е.
                             Dy        f ( x0 + Dx ) - f ( x0 )
                          lim   = lim
                      Dx ® 0 Dx Dx ® 0           Dx
называется производной функции y = f ( x) по независимой переменной x
при данном ее значении x = x0 .
          Функция y = f ( x) , имеющая производную в каждой точке интервала
(a, b ) , называется дифференцируемой на этом интервале; операция нахож-
дения производной функции называется дифференцированием.
                                  dy
 Производная обозначается :          , y ¢ или f ¢( x0 ) .
                                  dx
                         Правила вычисления производных.

      Установим несколько правил, которые могут помочь в вычислении
производных. Будем считать, что функции u = u ( x) , v = v ( x) и y = y ( x) диф-
ференцируемы.
   1. Производная постоянной равна нулю, т.е. c¢ = 0 .
   2. Производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) про-
      изводных этих функций, т.е. ( u ± v) )¢ = u ¢ ± v¢ .
   3. Производная произведения двух функций находится по правилу
                (uv)¢ = u ¢ × v + u × v¢ .
      Следствие. (cu )¢ = c × u ¢ , т.е. постоянный множитель можно вынести за
   знак производной.




                                         43