Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 44 стр.

 ÏÃÓ                                                                                      Êàô ÂèÏÌ
                  Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 3.

   4. Производная частного двух функций находится по правилу
æ u ö¢ u ¢v - v¢u                      æ c ö¢    cv¢
ç ÷   =           , в частности,       ç   ÷  =-     .
èvø          2                         è v ø       2
           v                                     v
   5. Производная сложной ф ункции.
       Пусть y ( x) = f ( u ( x ) ) . Тогда y ¢( x) = f ¢ ( u ) × u ¢( x ).
При применении этой формулы для решения конкретных примеров часто
бывает полезным использовать в качестве искусственного приема введение
промежуточных функций.
   Проиллюстрируем это на следующем примере. Вычислим производную

                          (                ).
                                           3
функции y = sin 5 6 x 4 + x 2


                                       (            ) . Тогда y = u5.
                                                        3
Введем функцию u = sin 6 x 4 + x 2

                                       w = ( 6 x 4 - x 2 ) . Тогда u = sin w.
                                                          3
Затем введем функцию

Наконец, введем функцию v = 6 x 4 + x 2 . Тогда w = v3 .
  Воспользовавшись этими обозначениями процесс дифференцирования
можно представить следующим образом:
    y ¢ = (u 5 )¢ = 5u 4 × u ¢,      u ¢ = (sin w)¢ = (cos w) w¢,        w¢ = (v3 )¢ = 3v 2 v ¢,
v¢ = 24 x3 + 2 x.
Отметим, что все производные берутся по x . Теперь начинаем процесс «со-
бирания» производной
                        3 ö4
        æ
        è
             (   4
y ¢ = 5 ç sin 6 x + x 2
                          ÷
                          ø
                             ×)u ¢ = 5sin 4
                                            6 x 4
                                                  + (
                                                    x 2 3
                                                                 )
                                                          (cos w) w¢ =


          (             ) (                 ) × v2 × v¢ =
                              3                     3
= 15sin 4 6 x 4 + x 2             cos 6 x 4 + x 2

= 15sin 4 ( 6 x 4 + x 2 ) cos ( 6 x 4 + x 2 ) ( 6 x 4 + x 2 ) ( 24 x3 + 2 x ) .
                         3                   3               2


Отметим, что приведенная выше процедура может оказаться полезной на
первых порах, пока не выработался автоматизм при вычислении производ-
ных.
                                          1
   6. Производная обратной функции y ¢x =     , если y = f ( x) и x = j( y ) .
                                          x¢y




                                                            44