Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 46 стр.

 ÏÃÓ                                                                                       Êàô ÂèÏÌ
                 Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 3.


        (5 x - 2)¢ x 2 + 5 x - 1 - (5 x - 2)( x 2 + 5 x - 1)¢
 y¢ =                                                                             =
                               2                    2
                          ( x + 5 x - 1)
                                                1
    5 x 2 + 5 x - 1 - (5 x - 2)                                (2 x + 5)
                                            2
=                              2 x + 5x - 1                                   =
                           2
                          x + 5x - 1
    10( x 2 + 5 x - 1) - (5 x - 2)(2 x + 5)                        29 x
=                                                   =                                  .
                 2             32                              2                  32
             2( x + 5 x - 1)                                2( x + 5 x - 1)
                                                        5
                         æ             1 ö
Пример 2.            y = ç 2tg 3 x -       ÷ .
                         è           cos3x ø
                                                4
                            æ   tg 3 x     1 ö æ tg 3 x     1 ö¢
Решение.             y¢ = 5 ç 2        -       ÷ ç× 2   -        ÷ =
                            è            cos3x ø è        cos3 x ø
                      4
   æ tg 3 x     1 ö æ tg 3 x                       1                  ö
= 5ç 2      -        ÷ ×ç2   ln 2 × (tg 3 x)¢ +           × (cos3 x)¢ ÷ =
   è          cos3 x ø è                        cos 2 3 x             ø
                       4
   æ tg 3 x     1 ö æ tg 3 x           3       3sin 3 x ö
= 5ç 2      -        ÷   × 2 ln 2 ×          -          ÷=
   è          cos3 x ø çè           cos 2 3 x cos 2 3 x ø
                                    4
=
     2
       15
  cos 3x
         æ tg 3 x
         ç
         è
           2      -
                      1 ö
                    cos3 x
                           ÷ × 2
                           ø
                                 tg 3 x
                                        (
                                        ln 2 - sin 3 x .                  )
                            2
П р и м е р 3 . y = еarctg x -1 .
Решение.
                                        ¢                         1                        ¢
y ¢ = еarctg x -1 × æç arctg x 2 - 1 ö÷ = еarctg x -1 ×                     × æç x 2 - 1 ö÷ =
              2                                       2

                     è                 ø                    1 + ( x 2 - 1) 2 è            ø
              2           1             1                      2         1
    = еarctg x -1 ×               ×           × 2 x = еarctg x -1 ×             .
                           2
                    1+ x -1 2 x -1       2                                2
                                                                     x x -1
                                 5 - 4x
П р и м е р 4 . y = ln 4                    .
                             x 2 + 8 x - 10
Решение.
Упростим функцию, воспользовавшись свойствами логарифма:
     1 æ 5 - 4x ö 1                             1
y = ln ç                  ÷ = ln(5 + 4 x ) - ln( x 2 + 8 x - 10) , а затем продифферен-
      4 è x 2 + 8 x - 10 ø 4                    4
цируем. Получим



                                                              46