Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ÏÃÓ Êàô ÂèÏÌ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 3.
47
2
2
2
1 1 1 (5 4 ) 1 ( 8 10)
ln(5 4 ) ln( 8 10)
4 4 4544
8 10
x xx
y x xx
x
xx
¢
¢¢
+ +-
æö
¢
=+-+-=×-×=
ç÷
+
èø
+-
22
22
1 4 2 8 1 4 32 40 10 8 40 32
4544
8 10 (4 5)( 8 10)
x xxxxx
x
xx x xx
æö
æö
+ + -- - --
=-==
ç÷
ç÷
ç÷
+
+- + +-
èø
èø
22
22
1 4 10 80 2,5 20
4
(4 5)( 8 10) (4 5)( 8 10)
xx xx
x xx x xx
--- ++
= × =-
+ +- + +-
Пример 5.
2
(arcsin )
x
yx= .
Решение.
Прологарифмируем данную функцию
2
ln ln(arcsin ) , ln 2 ln(arcsin )
x
y xyxx
= =× . Продифференцируем обе
части полученного выражения
( )
(ln ) 2 ln(arcsin )yxx
¢
¢
=×Þ
ln(arcsin )
(2 ) ln(arcsin ) 2 (ln(arcsin )) 2
yx
xxxxx
y
x
¢
¢¢
= × +× = +×
1 ln(arcsin ) 1 1 1
(arcsin ) 2
(arcsin ) (arcsin ) 1 2
x
xx
x x x xx
¢
× × = +× × ×=
-
ln(arcsin ) 1
(arcsin ) 1
x
x xx
=+
-
Отсюда следует, что
2
ln(arcsin ) 1
(arcsin )1
ln(arcsin ) 1
(arcsin ) .
(arcsin ) 1
x
x
yy
x xx
x
x
x xx
æö
¢
=×+=
ç÷
-
èø
æö
= ×+
ç÷
-
èø
131-160. Для данных функций найти
dy
dx
и
2
2
dy
dx
.
Пример 1.
3
sin3.
yxx
=
Р е ш е н и е.
3 3 3 23
( sin3 ) ( ) sin3 (sin3 ) 3 sin3 3 cos3 ;
dy
yxxx xx xxxxx
dx
¢¢¢¢
== =×+×=+
2
23 22
2
(3 sin3 3 cos3 ) 6 sin3 9 cos3 9 cos3
dy
yxxxxxxxxxx
dx
¢¢¢
== + =++-
 ÏÃÓ                                                                                      Êàô ÂèÏÌ
                 Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 3.


                                          ö¢ 1 (5 + 4 x)¢ 1 ( x + 8 x - 10)¢
                                                                     2
      æ1              1
y ¢ = ç ln(5 + 4 x) - ln( x 2 + 8 x - 10) ÷ = ×             - ×                  =
      è4              4                   ø 4 5 + 4x           4 x 2 + 8 x - 10
   1æ 4            2 x + 8 ö 1 æ 4 x 2 + 32 x - 40 - 10 x - 8 x 2 - 40 - 32 x ö
= ç           -               ÷= ç                                             ÷=
   4 è 5 + 4 x x 2 + 8 x - 10 ø 4 çè         (4 x + 5)( x 2 + 8 x - 10)        ÷
                                                                               ø
    1     -4 x 2 - 10 x - 80             x 2 + 2,5 x + 20
=     ×                          =-                          .
    4 (4 x + 5)( x 2 + 8 x - 10)                2
                                    (4 x + 5)( x + 8 x - 10)


П р и м е р 5 . y = (arcsin x )2 x .
Р е ш е н и е . Прологарифмируем данную функцию
  ln y = ln(arcsin x )2 x , ln y = 2 x × ln(arcsin x ) . Продифференцируем обе
части полученного выражения

           (
(ln y )¢ = 2 x × ln(arcsin x ) ¢ Þ   )
 y¢                                                      ln(arcsin x )
    = (2 x )¢ × ln(arcsin x ) + 2 x × (ln(arcsin x ))¢ =               +2 x×
  y                                                             x
       1                        ln(arcsin x )               1         1    1
×              × (arcsin x )¢ =               +2 x×               ×      ×   =
  (arcsin x )                          x              (arcsin x ) 1 - x 2 x
    ln(arcsin x )                1
=                   +                         .
           x            (arcsin x ) 1 - x

Отсюда следует, что
          æ ln(arcsin x )           1         ö
 y¢ = y × ç               +                   ÷=
          è        x        (arcsin x ) 1 - x ø
                    æ ln(arcsin x )           1          ö
 = (arcsin x )2 x × ç               +                    ÷.
                    è        x        (arcsin  x ) 1 - x ø
                                          dy   d2y
        131-160. Для данных функций найти    и      .
                                          dx   dx 2
П р и м е р 1 . y = x3 sin 3 x.
Р е ш е н и е.
dy
    = y ¢ = ( x3 sin 3 x )¢ = ( x3 )¢ × sin 3 x + x3 × (sin 3 x)¢ = 3 x 2 sin 3 x + 3 x3 cos3 x;
dx
d2y
       = y ¢¢ = (3 x 2 sin 3 x + 3 x3 cos3 x)¢ = 6 x sin3 x + 9 x 2 cos3 x + 9 x 2 cos3 x -
dx 2


                                                    47

Страницы