Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 49 стр.

 ÏÃÓ                                                                           Êàô ÂèÏÌ
               Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 3.

членом y = Pn ( x ) с соответствующей степенью точности, равной значению
остаточного члена Rn ( x) .
      При x0 = 0 получаем частный случай формулы Тейлора – формулу
Маклорена:
                         f ¢(0)    f ¢¢(0) 2        f ( n) (0) n f (n +1) (c ) n +1
       f ( x ) = f (0) +        x+        x + ... +           x +             x ,
                           1!        2!                 n!        ( n + 1)!
где c находится между 0 и x ( c = qx, 0 < q < 1) .
      Приведём разложения по формуле Маклорена некоторых элементар-
ных функций:
                                    x x 2 x3         x n еqx x n +1
                         еx = 1 +     +  +   + ... +    +           ,
                                    1! 2! 3!         n! ( n + 1)!
                                              2n +1                 2n + 3
                     x3 x 5               n x                n +1 x
         sin x = x -   +    - ... + ( -1)            + ( -1)               × cos qx ,
                     3! 5!                 (2n + 1)!             (2n + 3)!
                                                                2n + 2
                      x2 x 4              n x
                                              2n
                                                         n +1 x
          cos x = 1 -   +    - ... + (-1)         + (-1)               × cos qx ,
                      2! 4!                 (2n)!            (2n + 2)!
                        x 2 x3 x 4              n -1 x
                                                       n
                                                                n      x n +1
        ln(1 + x) = x -    +   -   + ... + (-1)          + (-1)                   ,
                         2   3   4                    n           (n + 1)(1 + qx)
                              m(m - 1) 2        m(m - 1)(m - 2)...( m - n + 1) n
       (1 + x )m = 1 + mx +           x + ... +                               x +
                                2!                          n!
                    m(m - 1)...(m - n)(1 + qx) m - n -1 n +1
               +                                       x .
                                 (n + 1)!

       141-150. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Ла-
гранжа к функции f ( x ) = e x , вычислить значение e0,12 с точностью 0,001.

    Р е ш е н и е.        Формула Тейлора с остаточным членом в форме Ла-
гранжа для функции f ( x ) = е x имеет вид

           x        x 2 x3         xn                  x n +1 q x
          е =1+ x +    +   + ... +    + Rn , где Rn =          е , 0 < q < 1.
                    2! 3!          n!                 (n + 1)!

                      a 2 a3         an   n
                a
  Отсюда е » 1 + a +     +   + ... +    = å uk .
                      2! 3!          n! k = 0
  Значение a = 0,12 принадлежат отрезку [0; 0,5] , следовательно,



                                               49