Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ÏÃÓ Êàô ÂèÏÌ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 3.
50
0 0,5
x
<q<
и
0,5
2
x
ее
q
<<
;
11
2
nn
x
n
aa
Rе
nn
++
q
=<
++
.
При заданной погрешности
0,001
e=
точность будет заведомо выполнять-
ся, если мы положим
1
1
2
10
( 1)!
n
a
n
+
-
<e
+
, откуда
1
1
0,5 10
( 1)!
n
a
n
+
-
<×e
+
.
Полагая
0,001
e=
, получим условие
1
4
0,5 10
( 1)!
n
a
n
+
-
<×
+
и при
0,12
a
=
име-
ем:
0
1
u
=
,
1
0,12
0,12
1!
u ==,
2
2
(0,12) 0,0144
0,0072
2!2
u ===
3
3
(0,12) 0,001728
0,000288
3!6
u ===
,
4
4
4
(0,12) 0,00021
0,0000086 0,5 10
4! 24
u
-
= = » <×
.
Складывая вычисленные значения, получим
0,12
1 0,12 0,0072 0,000288 0,0000086 1,1275
е »++++».
Заданная точность достигнута при
4
n
=
.
Правило Лопиталя
Пусть функции
()
fx
и
()
gx
непрерывны и дифференцируемы в окре-
стности точки
0
x
и обращаются в нуль в этой точке:
00
() ()0
f x gx
==
. Пусть
()0
gx
¢
¹
в окрестности точки
0
x
.
Если существует
0
()
lim
()
xx
fx
l
gx
®
¢
=
¢
, то
00
() ()
lim lim
() ()
xx xx
fx fx
l
gx gx
®®
¢
==
¢
.
Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределённостей ви-
да
0
0
и
¥
¥
, которые называются основными. Неопределённости вида
0
0, ,1,,
¥
×¥¥-¥¥
0
0
сводятся к двум основным видам путём тождест-
венных преобразований.
151-160. Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить пределы.
Р е ш е н и е.
 ÏÃÓ                                                                         Êàô ÂèÏÌ
              Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 3.


                    qx        0,5               a n +1 q x 2a n +1
   0 < qx < 0,5 и е      <е         < 2 ; Rn =          е <           .
                                               (n + 1)!     ( n + 1)!
При заданной погрешности e = 0,001 точность будет заведомо выполнять-
                    2a n +1      -1           a n +1
ся, если мы положим          < 10 e , откуда          < 0,5 × 10-1 e .
                    (n + 1)!                 (n + 1)!
                                                 a n +1
Полагая e = 0,001, получим условие                       < 0,5 × 10 -4 и при a = 0,12 име-
                                                (n + 1)!
ем:
                     0,12                        (0,12)2 0,0144
   u0 = 1 ,     u1 =      = 0,12 ,          u2 =        =       = 0,0072
                      1!                            2!      2
       (0,12)3 0,001728
  u3 =        =         = 0,000288 ,
          3!       6
       (0,12)4 0,00021
  u4 =        =        » 0,0000086 < 0,5 × 10-4 .
          4!      24
Складывая вычисленные значения, получим
    е0,12 » 1 + 0,12 + 0,0072 + 0,000288 + 0,0000086 » 1,1275 .
Заданная точность достигнута при n = 4 .


                                       Правило Лопиталя

         Пусть функции f ( x) и g ( x ) непрерывны и дифференцируемы в окре-
стности точки x0 и обращаются в нуль в этой точке: f ( x0 ) = g ( x0 ) = 0 . Пусть
g ¢( x) ¹ 0 в окрестности точки x0 .
                                f ¢( x )                 f ( x)        f ¢( x )
        Если существует lim              = l , то lim           = lim           =l.
                         x ® x0 g ¢( x)           x ® x0 g ( x) x ® x0 g ¢( x)
         Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределённостей ви-
     0 ¥
да и , которые называются основными. Неопределённости вида
     0 ¥
0 × ¥, ¥ - ¥, 1¥ , ¥0 , 00 сводятся к двум основным видам путём тождест-
венных преобразований.

       151-160. Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить пределы.
       Р е ш е н и е.



                                               50

Страницы