Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ÏÃÓ Êàô ÂèÏÌ
Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 3.
52
2sin cos 2 1 1
22
f
pp
æö
= + p= -=
ç÷
èø
.
Следовательно,
1,5; (0)1
62
наиб наим
f f f ff
pp
æö æö
== ===
ç÷ ç÷
èø èø
.
171-180. Решить задачу.
Требуется изготовить полотняный шатер, имеющий форму прямого круго-
вого конуса заданной вместимости V= 14,14 м
3
(
9
2
V
»p
). Каковы долж-
ны быть размеры конуса (высота Н и радиус основания R), чтобы на шатер
ушло наименьшее количество полотна?
Р е ш е н и е. Объём конуса находится по формуле
1
3
V RH
=p , боко-
вая поверхность конуса
S Rl
=p
, где
l
- образующая конуса.
22
lHR
=+
.
Таким образом, надо найти наименьшее значение функции
22
SRRH
=p+
,
при условии, что
2
2
1 9 27
32
2
RHH
R
p =pÞ= . Следовательно,
26
2
4
27 4 729
()
2
4
R
SR RR
R
R
+
=p + =p . Исследуем полученную функцию на
экстремум:
5
6
6
6
2
666
26 26
24
4 729
4 729
2 4 729
()
22
12 4 729 8 729
.
22
4 729 4 729
R
RR
R
R
SR
R
R
RRR
RR RR
×-+
¢
æö
+p
+
ç÷
¢
=p=×=
ç÷
èø
p--p-
=× =×
++
Найдём критические точки из условия
()0
SR
¢
=
.
3
6
66
26
8 729 729 9 9 3
0, 8 729 0, , 2,1
2 822
2
4 729
R
RRR
RR
p-
æö
× = -= = = ==»
ç÷
èø
+
(
0
R
¹
по условию задачи).
2
27 27 2
3
29
2
H
R
×
===
×
м.
Итак, для того, чтобы на шатер ушло наименьшее количество полотна, высо-
та шатра должна быть Н=3м и радиус основания R=2,1м.
()
VR
¢
()
VR
32
– +
min
 ÏÃÓ                                                                         Êàô ÂèÏÌ
                  Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 3.

  æpö       p
f ç ÷ = 2sin + cos p = 2 - 1 = 1 .
  è 2ø      2
                          æpö                                æpö
Следовательно, f наиб = f ç ÷ = 1,5;      f наим = f (0) = f ç ÷ = 1 .
                          è6ø                                è2ø
      171-180. Решить задачу.
Требуется изготовить полотняный шатер, имеющий форму прямого круго-
                                                  9
вого конуса заданной вместимости V= 14,14 м3 ( V » p ). Каковы долж-
                                                  2
ны быть размеры конуса (высота Н и радиус основания R), чтобы на шатер
ушло наименьшее количество полотна?
                                                            1
        Р е ш е н и е. Объём конуса находится по формуле V = pR 2 H , боко-
                                                            3
вая поверхность конуса S = pRl , где l - образующая конуса. l = H 2 + R 2 .
Таким образом, надо найти наименьшее значение функции S = pR R 2 + H 2 ,
                 1        9          27
при условии, что pR 2 H = p Þ H =       . Следовательно,
                 3        2         2R2
                   2    272
                        4 R6 + 729
S ( R) = pR R +      =p            . Исследуем полученную функцию на
                   4       2 R
                4R
экстремум:
                                     24 R5
                              ¢               × R - 4 R 6 + 729
             æ   4 R6 + 729 ö÷ p 2 4 R6 + 729
S ¢( R ) = p ç                  = ×                             =
             ç      2R       ÷ 2                2
             è               ø                R

 p 12 R6 - 4 R6 - 729 p    8 R 6 - 729
= ×                  = ×               .
 2 R 2 4 R6 + 729     2 R 2 4 R6 + 729

Найдём критические точки из условия S ¢( R ) = 0 .
                                                               3
p    8 R 6 - 729                              729 æ 9 ö    9   3
  ×               = 0, 8 R 6 - 729 = 0, R 6 =    =ç ÷ , R=   =    » 2,1
2 R 2 4 R 6 + 729                              8  è2ø      2    2
( R ¹ 0 по условию задачи).
                                               –           +       V ¢( R)
       27        27 × 2
H=           =          = 3 м.                     3   2
                                                                   V ( R)
    2R2           2×9                       min
Итак, для того, чтобы на шатер ушло наименьшее количество полотна, высо-
та шатра должна быть Н=3м и радиус основания R=2,1м.



                                          52

Страницы