Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 51 стр.

 ÏÃÓ                                                                                Êàô ÂèÏÌ
                 Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 3.

            1 - sin x                   p                          0
  а) lim                .   При x ®       получаем неопределённость .
          p tg 2 2 x                    2                          0
     x®
          2
                                             1 - sin x           (1 - sin x)¢
Применяем правило Лопиталя: lim                          = lim                  =
                                            p  2             p   2
                                         x ® tg 2 x       x ® (tg 2 x)¢
                                            2                2

                - cos x             - cos3 2 x cos x    1    cos3 2 x cos x
 = lim                       = lim                   = - lim                =
      p              2            p     4sin 2 x        4   p 2sin x cos x
   x ® 2 tg 2 x ×              x®                           x®
      2           cos2 2 x          2                            2

    1    cos3 2 x   1 -1 1
 = - lim          =- × = .
    8   p sin x     8 1 8
       x®
            2

  б) lim x3 (4 + ln x) .      Имеем неопределённость вида 00 .
     x ®0
                                                                       3ln x
Обозначим y = x3 (4 + ln x ) . Тогда ln y = ln x3 (4 + ln x ) =                ,
                                                                      4 + ln x
                                                         3
                  3ln x    æ¥ö         (3ln x )¢                 3
lim ln y = lim           = ç ÷ = lim              = lim x = lim = 3 .
x ®0       x ® 0 4 + ln x è ¥ ø x ® 0 (4 + ln x )¢ x ® 0 1 x ® 0 1
                                                         x
Так как ln lim x3 (4 + ln x) = 3 , то lim x3 (4 + ln x) = е3 .
                x ®0                      x ®0
        161-170.        Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f ( x) = 2sin x + cos 2 x на отрезке [0; p 2] .

        Р е ш е н и е. Находим критические точки функции из условия
f ¢( x) = 0 . f ¢( x) = 2cos x - 2sin 2 x = 0 . Решаем полученное уравнение:
2cos x - 4sin x cos x = 0 Þ 2cos x (1 - 2sin x) = 0 Þ 2cos x = 0 или 2sin x = 1 .
                 p                       1              p
cos x = 0 Þ x = + pn, n Î Z . sin x = Þ x = (-1)n + pn, n Î Z .
                 2                       2              6
                                                       p         p
Из всех найденных критических точек только x =            и x=     принадлежат
                                                       6         2
отрезку [0; p 2] . Вычислим значения данной функции при
           p       p                æpö          p      p       1
x = 0, x = , x = : f (0) = 1, f ç ÷ = 2sin + cos = 1 + = 1,5 ,
           6       2                è6ø          6      3       2



                                                 51