Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 48 стр.

 ÏÃÓ                                                                                       Êàô ÂèÏÌ
                 Ðåøåíèå òèïîâîãî âàðèàíòà êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ 3.

-9 x3 sin 3 x = 3 x ((2 - 3 x 2 )sin 3 x + 6 x cos3 x).

                     ìï x = 2t - sin 2t ,
Пример 2.             í          3
                      ïî y = 8sin t.
Р е ш е н и е.
dy y ¢(t )        (8sin 3 t )¢     24sin 2 t cos t 24sin 2 t cos t 24sin 2 t cos t
    =         =                 =                 =                 =              = 6cos t;
dx x¢(t ) (2t - sin 2t )¢ 2 - 2cos 2t                2(1 - cos 2t )   2 × 2sin 2 t
        æ dy ö¢
        ç ÷
d 2 y è dx ø t        (6cos t )¢         -6sin t      3
      =           =                    =         =-        .
dx 2      x ¢(t )   (2 t -  sin 2t ) ¢       2
                                         4sin t     2sin t


                                            Формула Тейлора.

          Рассмотрим функцию y = f ( x) . Формула Тейлора позволяет, при оп-
ределённых условиях , приближённо представить функцию f ( x) в виде мно-
гочлена и дать оценку погрешности этого приближения.
          Если функция f ( x) определена в некоторой окрестности точки x0 и
имеет в ней производные до (n + 1) -го порядка включительно, то для любого
x из этой окрестности найдётся точка c Î ( x0 ; x) такая, что справедлива фор-
мула
                      f ¢( x0 )              f ¢¢( x0 )           2        f ( n) ( x0 )
 f ( x ) = f ( x0 ) +           ( x - x0 ) +            ( x - x0 ) + ... +               ( x - x0 ) n +
                         1!                      2!                             n!
  f (n +1) (c)
+              ( x - x0 )n +1 , ( c = x0 + q( x - x0 ), 0 < q < 1).
   (n + 1)!
       Эта формула называется формулой Тейлора для функции f ( x) и её
можно записать в виде f ( x ) = Pn ( x) + Rn ( x ) , где
                     f ¢( x0 )              f ¢¢( x0 )           2        f ( n) ( x0 )
Pn ( x) = f ( x0 ) +           ( x - x0 ) +            ( x - x0 ) + ... +               ( x - x0 )n   на-
                        1!                      2!                             n!
                                           f (n +1) (c )
зывается многочленом Тейлора, а Rn ( x) =                ( x - x0 ) n +1 называется
                                            (n + 1)!
остаточным членом формулы Тейлора, записанным в форме Лагранжа.
Rn ( x) есть погрешность приближённого равенства f ( x) » Pn ( x) . Таким обра-
зом, формула Тейлора даёт возможность заменить функцию y = f ( x) много-




                                                    48