Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ÏÃÓ Êàô ÂèÏÌ
Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 4 è ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê å¸ âûïîëíåíèþ.
55
22
40 40
( 3) ( 3)
lim ; lim
( 4) ( 4)
xx
xx
xx
®- ®+
++
= -¥ = +¥
--
.
5. Исследуем функцию на возрастание, убывание, локальный экстремум:
22
22
2( 3)( 4) ( 3) 8 33
( 4) ( 4)
x x x xx
y
xx
+ --+ --
¢
==
--
.
Из условия у' = 0 следует
2
8 330
xx
--=
, откуда
11,3
xx
= =-
.
В интервале
(;3)0
y
¢
-¥->
, следовательно, функция возрастает в этом ин-
тервале. В
( 3; 4)
-
у' < 0, т. е. функция убывает. Поэтому функция в точке
3
x
=-
имеет локальный максимум:
(3)0
y
-=
. В интервале (4; 11) у' < 0, сле-
довательно, функция убывает на этом интервале; в
(11;)
+¥
у' > 0, т. е. функ-
ция возрастает. В точке
11
x
=
имеем локальный минимум:
(11) 28
y
=
.
6. Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и определим
точки перегиба. Для этого найдем
22
43
(2 8)( 4) ( 8 33) 2( 4) 98
( 4) ( 4)
xxxxx
y
xx
- ----×-
¢¢
==
--
.
Очевидно, что в интервале
(;4)0
y
¢¢
-¥<
, и в этом интервале кривая выпук-
ла; в
(4;)0
y
¢¢
+¥>
, т. е. в этом интервале кривая вогнута. Так как при
4
x
=
функция не определена, то точка перегиба отсутствует.
7. Находим наклонные асимптоты
ykxb
=+
:
2
( ) ( 3)
lim lim 1
( 4)
xx
fxx
k
x xx
®±¥ ®±¥
+
===
-
,
( )
2
(3) 109
lim ( ) lim lim 10.
44
xxx
xx
bfxkxx
xx
®±¥ ®±¥ ®±¥
æö
+-
=-= -==
ç÷
ç÷
--
èø
Таким образом, существует единственная наклонная асимптота
10
yx
=+
.
y
¢
y
+
–
+
11
min
min
–3
max
 ÏÃÓ                                                             Êàô ÂèÏÌ
       Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 4 è ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê å¸ âûïîëíåíèþ.

                          ( x + 3) 2                ( x + 3) 2
                   lim               = -¥;   lim               = +¥ .
                 x ® 4 - 0 ( x - 4)        x ® 4 + 0 ( x - 4)
   5. Исследуем функцию на возрастание, убывание, локальный экстремум:
                                2( x + 3)( x - 4) - ( x + 3) 2          x 2 - 8 x - 33
                         y¢ =                                       =                    .
                                                     2                               2
                                          ( x - 4)                        ( x - 4)
Из условия у' = 0 следует x 2 - 8 x - 33 = 0 , откуда x1 = 11, x2 = -3 .
                                          +              –          +   y¢

                                              –3              11         y
                                              max             min
                                                              min
В интервале ( -¥; - 3) y ¢ > 0 , следовательно, функция возрастает в этом ин-
тервале. В (-3; 4) у' < 0, т. е. функция убывает. Поэтому функция в точке
x = -3 имеет локальный максимум: y (-3) = 0 . В интервале (4; 11) у' < 0, сле-
довательно, функция убывает на этом интервале; в (11; + ¥) у' > 0, т. е. функ-
ция возрастает. В точке x = 11 имеем локальный минимум: y (11) = 28 .
    6. Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и определим
точки перегиба. Для этого найдем
                       (2 x - 8)( x - 4) 2 - ( x 2 - 8 x - 33) × 2( x - 4)                   98
              y ¢¢ =                                                      .      =
                                       ( x - 4)4                ( x - 4)3
Очевидно, что в интервале ( -¥; 4) y ¢¢ < 0 , и в этом интервале кривая выпук-
ла; в (4; + ¥ ) y ¢¢ > 0 , т. е. в этом интервале кривая вогнута. Так как при x = 4
функция не определена, то точка перегиба отсутствует.
    7. Находим наклонные асимптоты y = kx + b :
                                        f ( x)        ( x + 3) 2
                                k = lim        = lim             = 1,
                                   x ®±¥ x      x ®±¥ x ( x - 4)
                                            æ ( x + 3) 2     ö       10 x - 9
         b = lim   ( f ( x ) - kx ) =   lim  ç           - x ÷ = lim          = 10.
             x ®±¥                    x ®±¥ çè x - 4         ÷ x ®±¥ x - 4
                                                             ø
Таким образом, существует единственная наклонная асимптота
y = x + 10 .




                                                         55

Страницы