Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 56 стр.

 ÏÃÓ                                                             Êàô ÂèÏÌ
       Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 4 è ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê å¸ âûïîëíåíèþ.

   9. Строим график функции




                             2
   П р и м е р 2 . y = xе - x 2 .
   Р е ш е н и е . Воспользуемся общей схемой исследования функции.
   1. Область определения функции (-¥; + ¥) .
  2. Так как у = 0 при х = 0, то график функции проходит через начало коор-
динат.
  3. Функция принимает положительные значения в интервале (0; + ¥) и от-
рицательные в интервале (-¥; 0) .
   4. Вертикальных асимптот нет.
                                2
  5. Так как y (- x ) = - xе - x 2 = - y ( x) , то функция нечетна и ее график сим-
метричен относительно начала координат.
  6. Исследуем функцию на монотонность:
                  æ x ö¢ е x 2 - x × xе x 2 е x 2 (1 - x 2 ) 1 - x 2
                            2            2     2

             y¢ = ç 2 ÷ =                  =                = 2 .
                  ç x 2÷          x2               x2
                  èе   ø        е                е           еx 2
Если y ¢ = 0 , то 1 - x 2 = 0 , откуда x1 = -1, x2 = 1 .
                                                           y¢
                                –         +         –

                                    –1         1           y
                                    min       max

                                    1                1
                   ymin (-1) = -» -0,6 , ymax (1) =      » 0,6 .
                           е1 2                     е1 2
   7. Исследуем свойства функции, связанные со второй производной:


                                              56