Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ÏÃÓ Êàô ÂèÏÌ
Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 4 è ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê å¸ âûïîëíåíèþ.
57
2 22
222
2
2 22222
2
2
2
1 2 (1) (21)
( 3)
.
x xx
xxx
x
x xе x xе xе x
y
еее
xx
е
¢
æö
- - - - × --+
¢¢
== ==
ç÷
ç÷
èø
-
=
Если
0
y
¢¢
=
, то
2
( 3)0
xx
-=
, откуда следует
0, 3,
xx= =-
3
3
x = .
Так как в точках
3,0
xx
=±=
вторая производная у" меняет знак, то при
этих значениях
x
на графике функции получаем точки перегиба, ординаты
которых:
32
3
( 3) 0,4, (0) 0
yy
е
± =± »± =
.
8. Ищем наклонные асимптоты
ykxb
=+
:
2
2
()1
lim lim 0
x
xx
fx
k
x
е
®±¥ ®±¥
===
,
( )
22
22
1
lim ( ) lim lim 0
xx
x xx
x
b f x kx
е xе
®±¥ ®±¥ ®±¥
=-===
.
Получаем горизонтальную асимптоту
0
y
=
.
Полученные данные позволяют построить график функции.
Пример 3.
2
3
( 3)
y xx
=+
.
Решение.
1. Данная функция определена для всех
xR
Î
.
2.Функция не имеет точек разрыва и пересекает ось
Ox
при
3
x
=-
и
0
x
=
, а ось
Oy
- при у = 0.
y
¢¢
y
3
-
0
3
– + – +
 ÏÃÓ                                                              Êàô ÂèÏÌ
        Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 4 è ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê å¸ âûïîëíåíèþ.


          æ 1 - x 2 ö¢ -2 xе x 2 - (1 - x 2 ) × xе x 2 xе x 2 (-2 - 1 + x 2 )
                              2                     2      2

   y ¢¢ = ç 2 ÷ =                                     =                       =
          ç x 2÷                     x2                          x2
          èе        ø              е                           е
       x ( x 2 - 3)
   =                  .
             x2 2
         е
  Если y ¢¢ = 0 , то x( x 2 - 3) = 0 , откуда следует x1 = 0, x2 = - 3,
 x3 = 3 .
                               –         +        –            +   y¢¢

                                   - 3        0            3       y


Так как в точках x = ± 3, x = 0 вторая производная у" меняет знак, то при
этих значениях x на графике функции получаем точки перегиба, ординаты
которых:
                                         3
                          y (± 3) = ±         » ±0,4, y (0) = 0 .
                                         32
                        е
  8. Ищем наклонные асимптоты y = kx + b :
                                     f ( x)           1
                                k = lim     = lim     2
                                                         = 0,
                             x ®±¥ x         x ®±¥ е x 2
                                                x             1
           b = lim ( f ( x ) - kx ) = lim       2
                                                   = lim       2
                                                                 =0.
              x ®±¥                   x ®±¥ е x 2 x ®±¥ xе x 2

Получаем горизонтальную асимптоту y = 0 .
Полученные данные позволяют построить график функции.




  П р и м е р 3 . y = 3 x 2 ( x + 3) .
  Решение.
   1. Данная функция определена для всех x Î R .
   2.Функция не имеет точек разрыва и пересекает ось Ox при x = -3 и
x = 0 , а ось Oy - при у = 0.


                                                      57

Страницы