Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ÏÃÓ Êàô ÂèÏÌ
Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 4 è ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê å¸ âûïîëíåíèþ.
58
3.Функция не является четной, нечетной, периодической.
4. Находим производную функции
(
)
(
)
3213 32232
2
3
12
()(3) (3) 36
3
( 3)
x
fxxx xx xx
xx
-
+¢
¢
= + = + × +=
+
.
1
()0
при 2
fxx
= =-
и не существует в точках
23
3,0
xx
=-=
. Эти точки
разбивают всю область определения функции на интервалы
(–
¥
; –3), (– 3; –2), ( –2; 0), (0; +
¥
). Внутри каждого из полученных интерва-
лов сохраняется знак производной.
3
max
4
y = ,
min
(0)0
yy
==
. В точке
2
3
x
=-
функция не имеет экстремума,
так как в ее окрестности
()
fx
¢
не меняет знака.
4. Находим вторую производную:
2 45
33
22
()
( 3) ( 3)
x
fx
xx xx
¢
æö
+
ç÷
¢¢
= =-
ç÷
++
èø
.
()0
fx
¢¢
¹
для любого конечного х. Поэтому точками перегиба могут быть
только те точки кривой, в которых вторая производная не существует, т. е.
23
3
и0
xx
=-=
. Определим знак у" в каждом из интервалов, на которые
найденные точки разбивают область определения функции:
()0
fx
¢¢
>
при
( ; 3)
x
Î-¥-
, кривая вогнута;
()0
fx
¢¢
<
при
(3;0)(0;)
x
Î - È +¥
, кривая вы-
пукла. Так как в окрестности точки
2
3
x
=-
вторая производная меняет знак,
то М(–3; 0) является точкой перегиба. Точка
3
0
x
=
не является точкой пере-
гиба, так как в ее окрестности знак f"(x) не меняется.
6. Вертикальных асимптот нет, так как данная функция не имеет беско-
нечных разрывов. Ищем наклонные асимптоты
ykxb
=+
:
2
3
3
( 3)
()3
lim lim lim 1 1
xxx
xx
fx
k
xxx
®±¥ ®±¥ ®±¥
+
= = = +=
,
( )
2
3
lim ( ) lim ( 3)
xx
b fxkx xxx
®±¥ ®±¥
æö
= - = +-=
ç÷
èø
+
+
–
+
y
¢
y
–3 –2 0
max min
 ÏÃÓ                                                             Êàô ÂèÏÌ
       Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 4 è ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê å¸ âûïîëíåíèþ.

   3.Функция не является четной, нечетной, периодической.
   4. Находим производную функции

            (              )     ¢ 1
                                                         (
      f ¢( x) = ( x3 + 3 x 2 )1 3 = ( x3 + 3 x 2 )-2 3 × 3 x 2 + 6 x =
                                   3
                                                                       )   x+2
                                                                       3 x ( x + 3) 2
                                                                                      .

 f ¢( x) = 0 при x1 = -2 и не существует в точках x2 = -3, x3 = 0 . Эти точки
разбивают всю область определения функции на интервалы
(– ¥ ; –3), (– 3; –2), ( –2; 0), (0; + ¥ ). Внутри каждого из полученных интерва-
лов сохраняется знак производной.

                           +          +            –          + y¢
                               –3         –2            0          y
                                          max           min

 ymax = 3 4 , ymin = y (0) = 0 . В точке x2 = -3 функция не имеет экстремума,
так как в ее окрестности f ¢( x ) не меняет знака.
   4. Находим вторую производную:
                                 æ              ö¢
                                      x  + 2                 2
                     f ¢¢( x ) = ç              ÷ =-                 .
                                 ç 3 x( x + 3)2 ÷    3 x 4 ( x + 3)5
                                 è              ø
 f ¢¢( x ) ¹ 0 для любого конечного х. Поэтому точками перегиба могут быть
только те точки кривой, в которых вторая производная не существует, т. е.
x2 = -3 и x3 = 0 . Определим знак у" в каждом из интервалов, на которые
найденные точки разбивают область определения функции: f ¢¢( x ) > 0 при
x Î (-¥; - 3) , кривая вогнута; f ¢¢( x ) < 0 при x Î (-3; 0) È (0; + ¥) , кривая вы-
пукла. Так как в окрестности точки x2 = -3 вторая производная меняет знак,
то М(–3; 0) является точкой перегиба. Точка x3 = 0 не является точкой пере-
гиба, так как в ее окрестности знак f"(x) не меняется.
     6. Вертикальных асимптот нет, так как данная функция не имеет беско-
нечных разрывов. Ищем наклонные асимптоты y = kx + b :
                                      3 x 2 ( x + 3)
                        f ( x)                                  3
                k = lim        = lim                 = lim 3 1 + = 1 ,
                   x ®±¥ x      x ®±¥        x        x ®±¥     x

                   b = lim     ( f ( x) - kx ) =     lim æç 3 x 2 ( x + 3) - x ö÷ =
                       x ®±¥                       x ®±¥ è                      ø




                                                58

Страницы