Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению - 60 стр.

 ÏÃÓ                                                             Êàô ÂèÏÌ
       Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 4 è ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê å¸ âûïîëíåíèþ.

                                            3
        В данном случае f ( x) = 4 x - 3 x 2 и f ( x0 ) = y0 = 1 . Найдём
                           ¢         2              2
f ¢( x) = çæ 4 x - 3 x 2 ö÷ = 4 - 3 × x -1 3 = 4 -
                    3
                                                      . Вычислим
           è              ø          3             3x

                  2
f ¢( x0 ) = 4 -             = 2 . Подставим в уравнение касательной, получим:
                  3x
                     x =1
               y = 1 + 2( x - 1) Þ y = 2 x - 1 или 2 x - y - 1 = 0 .
  Подставим в уравнение нормали значения функции y = f ( x) и её произ-
водной в точке x0 = 1 , получим:
                     1                 1      3
             y = 1 - ( x - 1) Þ y = - x +       или x + 2 y - 3 = 0 .
                     2                 2      2

                                    Дифференциал функции

       Пусть функция y = f ( x) имеет в точке x отличную от нуля производ-
ную
         Dy                                                 Dy
 lim        = f ¢( x ) ¹ 0 . Тогда можно записать                = f ¢( x) + a , где
Dx ® 0 Dx                                                   Dx
a ® 0 при Dx ® 0 , или Dy = f ¢( x ) × Dx + a × Dx .
         Таким образом, приращение функции Dy представляет собой сумму
двух слагаемых f ¢( x) × Dx и a × Dx , являющихся бесконечно малыми при
Dx ® 0 . Первое слагаемое f ¢( x) × Dx называется главной частью прираще-
ния функции Dy .
        Дифференциалом функции y = f ( x) в точке x называется главная
часть её приращения, равная произведению производной функции на прира-
щение аргумента, и обозначается dy = f ¢( x) × Dx . Так как x ¢ = 1 , то dx = Dx ,
т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой пере-
менной. Поэтому
                                            dy = f ¢( x )dx .
         Отбрасывая бесконечно малую a × Dx в приращении функции Dy , по-
лучаем приближённое равенство Dy » dy , причём это равенство тем точнее,
чем меньше Dx . Приближённое равенство можно записать в виде
 f ( x + Dx) - f ( x ) » f ¢( x) × Dx или
                                   f ( x + Dx) » f ( x ) + f ¢( x) × Dx .
Полученная формула используется для вычисления приближённых значений
функций.




                                                60