Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Контрольная работа № 8
81
х
z
О
А
В
С
4
-2
2
0
n
24, 0xz y
20, 0yz x

24, 0xy z

у
Рис. 20
На СВ: 0, 0, 2,
x
dx y z dy dz.
Тогда

00
22
()(2) 2(2) (34)
CB
x
z dx y x dy zdz z z dz z dz 

0
2
2
34 2
2
z
z





.
На ВА:
0, 0, 2 4, 2zdzxydxdy.
Тогда

00
22
()(2)
(2 4) 2 4 (4 4)
BA
xzdx yxdyzdz
ydyydy




0
2
2
44 0
2
y
y





. Значит, 10 2 0 8C
.
Вычислим циркуляцию векторного поля
F
по замкнутому контуру
применив теорему Стокса к поверхности
с ограничивающим ее контуром
.
cos cos cos
Pdx Qdy Rdz
RQ PR QP
ds
yz zx xy


 
 




 


 


где cos , cos , cos - направляющие косинусы единичного вектора
нормали к плоскости (вычислены в п. 1). Найдём
() (2 ) ( ) ()
0, 1,
RQ z yx PR xz z
yz y z zx z x
 


(2 ) ( )
1
Q P yx xz
xy x y


  
.
Тогда
22 43
(cos cos ) 2 8
33 32
xy
AOB
CdsdsdxdyS


     


  
. 
ПГУ                                                       Каф ВиПМ
                                       Контрольная работа № 8

На СВ: x  0, dx  0, y  z  2, dy  dz .
                                                   0                          0
Тогда          ( x  z )dx  (2 y  x)dy  zdz    2( z  2)  z  dz   (3 z  4)dz 
           CB                                      2                          2
                    0
   z2                                                                                   z
  3  4z   2 .
   2      
          2                                                                       2 С
                                                                               
                                                                               n0
На ВА:
z  0, dz  0, x  2 y  4, dx  2dy .                 y  z  2  0, x  0                   x  2 z  4, y  0
                                                                                  
Тогда                                                              -2
                                                                   В                О                          у
    ( x  z )dx  (2 y  x)dy  zdz 
BA                                                               x  2 y  4, z  0                 4
  0                               0                                                                А     х
      (2 y  4)  2  4  dy   (4 y  4)dy                             Рис. 20
     2                           2
                    0
   y2       
 4    4 y   0 . Значит, C  10  2  0  8 .
   2        
             2
                                                
     Вычислим циркуляцию векторного поля F по замкнутому контуру 
применив теорему Стокса к поверхности  с ограничивающим ее контуром
.
 Pdx  Qdy  Rdz 

       R Q           P R           Q P        
          cos          cos          cos  ds
         y z           z x           x y 
                                                        
     где cos , cos , cos  - направляющие косинусы единичного вектора
нормали к плоскости  (вычислены в п. 1). Найдём
     R Q  ( z )  (2 y  x)         P R  ( x  z )  ( z )
                                0,                         1,
      y z      y         z          z x     z      x
          Q P  (2 y  x)  ( x  z )
                                      1 .
          x y     x          y
Тогда
                                          2 2        4 3
          C   (cos   cos  )ds       ds     dxdy  2 S AOB  8 .
                                     
                                          3 3        3 2
                                                                       xy




                                                  81

Страницы