Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 80 стр.

ПГУ                                                            Каф ВиПМ
                                            Контрольная работа № 8

            1                             1                  1          3               
       
            2      3x  4 y  3  2 x  y  2   dxdy  2   2 x  y  6  dxdy 
                 xy                                                  xy

                 0         2 y4                       0                                2 y4
         1                     3                   1       3 2               
       
         2        dy         2 x  y  6  dx  2  dy  4 x  (6  y) x                  
                2          0                          2                         0
                 0
         1          3           2                    
       
         2         4 (2 y  4)  (6  y)(2 y  4)  dy 
                2
                0                                                                0
                                                                
         1                  2                              2        1                   2
       
         2
                       3( y  4 y  4)  12 y  24  2 y  4 y dy 
                                                                    2             (y        20 y  36)dy 
             2                                                                  2
                          0
 1  y3                    52
       10 y 2  36 y   .
 2  3                 
                            3
                                     2
                                                   
     2)      Вычисляем поток векторного поля F через полную поверхность
пирамиды V, для чего вычислим поток через каждую грань пирамиды (рис.
19).                                                           z
     Грань АОС лежит в плоско-
сти y  0 , нормаль к этой грани                         2 С
 0        0                                  n 0  i
n  j , (F  n )  2 y  x   x     y  z  2  0, x  0
                                                                                                 x  2 z  4, y  0
(так как y  0 ), ds  dxdz .
                                                                -2               
Тогда поток векторного поля F че-                                                                              у
                                                                 В               О                 n0  j
рез грань АОС
2               xds              xdxdz               x  2 y  4, z  0
                                                                                      0   
                                                                                              4
            AOC                     AOC                                               n  k А          х
   4        2 x 2              4
                                       x
   xdx              dz    x  2   dx                                    Рис. 19
                                       2
   0            0              0
                       4
    2 x3           16
  x     .
         6         3
              0
      Грань АОВ лежит в плоскости z  0 , нормаль к этой грани
0         
n  k , ( F  n 0 )   z  0 (так как z  0 ), ds  dxdy . Тогда поток векторного
      
поля F через грань АОВ равен нулю.




                                                     79