Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Контрольная работа № 8
77
У нас
2
(, ) 2 3 1, 6
P
Pxy x y y
y

, (, ) 2 6 , 6
Q
Qxy xy y
x

.
Условие полного дифференциала выполнено, следовательно, криволи-
нейный интеграл не зависит от пути интегрирования.
441-450. Показать, что выражение
22
2
(3)(21)
xy xy
y е dx xyе dy яв-
ляется полным дифференциалом функции (, )uxy. Найти функцию (, )uxy.
Решение
. Проверим, выполняется ли условие полного диффе-
ренциала
PQ
yx


для функции (, )uxy. Имеем:
22
2
(, ) 3, (, ) 2 1
xy xy
Pxy yе Qxy xyе
222
222
22
22
222(1)
22 2(1)
xy xy xy
xy xy xy
P
yе yxyе yе xy
y
Q
yе xy y е yе xy
x


Итак, данное выражение является полным дифференциалом функции
(, )uxy. Положив
00
0, 0xy
, найдем
2
222
00 00
2
0
0
0
(, ) (,0) (, ) 3 (2 1)
3()3 3 1
yy
xx
xy
y
y
x
xy xy xy
uxy Px dx Qxydy C dx xyе dy
x е dxy y C x е yC xyе C

  

2
1
3
xy
xyе C .
Результат вычислений верен, если (, )
u
Pxy
x
и
(, )
u
Qxy
y
.
Сделаем проверку:
22 22
2
11
33,321
xy xy xy xy
xyе Cyе xyе Cxyе
xy


 



Итак,
2
(, ) 3
xy
uxy x y е C . 
ПГУ                                                       Каф ВиПМ
                                       Контрольная работа № 8

       У нас
                                           P                                        Q
       P ( x, y )  2 x  3 y 2  1,           6 y ,       Q( x, y )  2  6 xy,       6 y .
                                           y                                        x
     Условие полного дифференциала выполнено, следовательно, криволи-
нейный интеграл не зависит от пути интегрирования.
                                                                  2                     2
      441-450. Показать, что выражение ( y 2 е xy  3)dx  (2 xyе xy  1)dy яв-
ляется полным дифференциалом функции u ( x, y ) . Найти функцию u ( x, y ) .
     Р е ш е н и е . Проверим, выполняется ли условие полного диффе-
          P Q
ренциала             для функции u ( x, y ) . Имеем:
          y x
                                            2                         2
                        P( x, y )  y 2 е xy  3, Q( x, y )  2 xyе xy  1
                    P          2                 2         2
                        2 yе xy  y 2  2 xyе xy  2 yе xy (1  xy 2 )
                    y
                    Q          2                 2         2
                        2 yе xy  2 xy  y 2 е xy  2 yе xy (1  xy 2 )
                    x
         Итак, данное выражение является полным дифференциалом функции
u ( x, y ) . Положив x0  0, y0  0 , найдем
           x               y                        x         y          2
u ( x, y )   P ( x,0)dx   Q( x, y )dy  C   3dx   (2 xyе xy  1)dy 
          0                0                        0         0
          y                                 y
      x    xy 2   2                    xy 2                           2
          
 3 x 0  е d ( xy )  y  C  3 x  е         y  C  3 x  y  е xy  1  C 
         0                                  0
                 2
 3x  y  е xy  C1 .
                                                  u                u
Результат вычислений верен, если                      P ( x, y ) и     Q ( x, y ) .
                                                  x                y
Сделаем проверку:
                                                      
                 xy 2
                       C1   3  y 2 е xy ,                                C1   2 xyе xy  1
                                            2
                                                                        xy 2                   2
     3x  y  е                                            3x  y  е
 x                                                   y                        
                                       2
 Итак, u ( x, y )  3 x  y  е xy  C .




                                                    77

Страницы