Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Контрольная работа № 8
76
Следовательно,
2
(231)(26)68882
OAC
x y dx xy dy
.
б) L – ломаная ОВС (рис. 16). Аналогично предыдущему
2
2
(2 3 1) (2 6 )
(2 3 1) (2 6 )
L
OB
xy dx xydy
x
ydx xydy


2
(2 3 1) (2 6 ) .
B
C
x
ydx xydy
На отрезке ОВ: 0, 0, 0 4
x
dx y
,
на отрезке ВС: 4, 0, 0 2ydy x
. Поэтому
4
4
2
0
0
(2 3 1) (2 6 ) 2 2 8
OB
x y dx xy dy dy y

,
2
2
22
0
0
(2 3 1) (2 6 ) (2 48 1) ( 47 ) 90
B
C
xy dx xydy x dxx x

.
Следовательно,
2
(2 3 1) (2 6 ) 8 90 82
OBC
xy dx xydy
.
в) L – дуга параболы
2
yx
. На параболе
2
,2,02yx dy xdx x
.
Поэтому
2
(2 3 1) (2 6 )
L
ydx xydy

2
42
0
23 1(26 )2
x
xxxxdx
22
44 4
00
(23 1412) (1615)
x
x x xdx x xdx

2
25
0
(3 3)xx x 14 96 82.
Таким образом, во всех трёх случаях получили одинаковый результат.
Это возможно тогда, когда под знаком интеграла стоит полный дифференци-
ал некоторой функции, т.е. тогда, когда выполнено условие
PQ
yx


. Прове-
рим, так ли это.
О А
В С(2; 4)
у
х
Рис. 16
О А
В С(2; 4)
у
х
Рис. 17 
ПГУ                                                                 Каф ВиПМ
                                                 Контрольная работа № 8

Следовательно,                        (2 x  3 y 2  1)dx  (2  6 xy ) dy  6  88  82 .
                               OAC
               б) L – ломаная ОВС (рис. 16). Аналогично предыдущему
                   2
 (2 x  3 y            1)dx  (2  6 xy )dy 
                                                                                         у
L
                                                                                  В                  С(2; 4)
                           2
           (2 x  3 y  1)dx  (2  6 xy )dy 
    OB

           (2 x  3 y 2  1)dx  (2  6 xy )dy.                                                          х
    BC                                                                               О           А

На отрезке ОВ: x  0, dx  0, 0  y  4 ,
                                                                                         Рис. 16
на отрезке ВС: y  4, dy  0, 0  x  2 . Поэтому
                                                                4
                           2                                             4
            (2 x  3 y  1)dx  (2  6 xy ) dy   2dy  2 y 0  8 ,
 OB                                                             0
                                                            2                                2
        (2 x  3 y  1)dx  (2  6 xy )dy   (2 x  48  1)dx  ( x 2  47 x)   90 .
                       2
                                                                                             0
BC                                                          0
Следовательно,                        (2 x  3 y 2  1)dx  (2  6 xy )dy  8  90  82 .
                               OBC
       в) L – дуга параболы y  x 2 . На параболе y  x 2 , dy  2 xdx, 0  x  2 .
Поэтому
            2
 (2 x  3 y  1)dx  (2  6 xy)dy                          у
L                                                                                В               С(2; 4)
    2
         
  2 x  3  x 4  1  (2  6 x  x 2 )2 x dx         
    0
    2                                               2
                                                                                                           х
  (2 x  3 x  1  4 x  12 x )dx   (1  6 x  15 x 4 ) dx 
                       4                     4                                   О               А
    0                                               0
                                                                                         Рис. 17
                               2
 ( x  3 x 2  3x5 )  14  96  82 .
                               0
      Таким образом, во всех трёх случаях получили одинаковый результат.
Это возможно тогда, когда под знаком интеграла стоит полный дифференци-
                                                          P Q
ал некоторой функции, т.е. тогда, когда выполнено условие      . Прове-
                                                          y x
рим, так ли это.

                                                                    76

Страницы