Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Контрольная работа № 8
74
(3);:2, ,0
D
x y dxdy D y x y x x

, (рис. 13).
Решение. Область интегрирования D ограничена прямой
2yx, параболой
yx и осью Oy . Следова-
тельно, ( 3)
D
x
ydxdy

2
12 1
2
00
(3) 3
2
yx
x
x
yx
y
dx x y dy xy y dx






2x
2
2
(2 )
62
2
x
xx

1
0
3
2
x
x
xxdx





1
33 52232
0
(2 ) 2 2 1 1 2 1 8
63 62
36 54 3 36546
11
4.
60
xx xxx
x





421-430
. Вычислить объём тела, ограниченного заданными поверхно-
стями:
22 22
2, 4,1zxyxy z . Сделать чертежи данного тела и
его проекции на плоскость
x
Oy .
Решение. По заданным поверхностям построим область V и её
проекцию на плоскость
x
Oy (рис. 14). Объём тела находим по формуле
()V
V dxdydz

.
Перейдем в данном интеграле к цилиндрической системе координат:
cos , sin , ,
x
y dxdydz d d dz  
следовательно,
()V
Vdddz


.
С учётом того, что проекцией задан-
ного тела на плоскость
x
Oy является ок-
ружность радиуса 2 с центром в начале ко-
ординат, пределы изменения
и
будут
таковы: 0 2 , 0 2  .
z
изменяет-
ся от
вх
1z (уравнение плоскости, огра-
ничивающей данное тело снизу) до
х
у
2
2
D
2yx
0 1
yx
Рис. 13
Рис. 14 
ПГУ                                                             Каф ВиПМ
                                             Контрольная работа № 8

                      ( x  y  3) dxdy;     D : y  2  x, y  x , x  0 , (рис. 13).
                     D
      Р е ш е н и е . Область интегрирования D ограничена прямой
y  2  x , параболой y  x и осью Oy . Следова-
                                                                                    у
тельно,           ( x  y  3)dxdy                                           2       y2x
                 D
                                                                                    D
  1      2 x                          1                      y 2 x
                                                  y2                                   y x
  dx          ( x  y  3) dy          xy      3y               dx                       х
                                                 2                            0        1     2
  0          x                         0                     y x
  1                                             
               (2  x) 2
                     2                    x                                             Рис. 13
   2x  x             6  2 x  x x   3 x  dx 
                  2                      2      
  0                                             
                                             1
   x3 (2  x)3        2x 52
                               x 2
                                      2x 32
                                               1 1   2 1   8
             6x             3         6  2 
   3      6             5      4       3    3 6   5 4   6
                                            0
      11
4       .
      60

         421-430. Вычислить объём тела, ограниченного заданными поверхно-
стями: z  2  x 2  y 2 , x 2  y 2  4,                z  1 . Сделать чертежи данного тела и
его проекции на плоскость xOy .
     Р е ш е н и е . По заданным поверхностям построим область V и её
проекцию на плоскость xOy (рис. 14). Объём тела находим по формуле
                                                    V   dxdydz .
                                                        (V )
       Перейдем в данном интеграле к цилиндрической системе координат:
x   cos , y   sin , dxdydz   d  d  dz ,
следовательно, V    d  d  dz .
                                (V )
     С учётом того, что проекцией задан-
ного тела на плоскость xOy является ок-
ружность радиуса 2 с центром в начале ко-
ординат, пределы изменения  и  будут
таковы: 0    2, 0    2 . z изменяет-
ся от zвх  1 (уравнение плоскости, огра-                                       Рис. 14
ничивающей данное тело снизу) до

                                                        74

Страницы