ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
ПГУ Каф ВиПМ
Контрольная работа № 8
75
22
вых
2zxy (уравнение параболоида, ограничивающего данное тело
сверху). Но так как в цилиндрических координатах
222
xy, то
2
вых
2z . Перейдём к повторным интегралам, расставим пределы интег-
рирования и вычислим объём:
2
2
2
22 22 22
2
2
1
00 1 00 00
2
22 2 2
24
3
00 0 0
0
(2 1)
() 6 12.
24
Vdd dzddz d d
ddd d
431-440. Задан криволинейный интеграл
2
(2 3 1) (2 6 )
L
x
ydx xydy
и точки О(0;0), A(2; 0), B(0; 4) и C(2; 4). Вычислить интеграл, если: а) L –
ломаная ОАС; б) L – ломаная ОВС;
в) L – дуга параболы
2
yx . Объяснить совпадение полученных результа-
тов.
Решение.
а) L – ломаная ОАС (рис. 15). По свойству
аддитивности криволинейного интеграла
2
2
(2 3 1) (2 6 )
(2 3 1) (2 6 )
L
OA
xy dx xydy
x
ydx xydy
2
(2 3 1) (2 6 ) .
AC
x
ydx xydy
На отрезке ОА: 0, 0, 0 2ydy x
,
на отрезке АС: 2, 0, 0 4
x
dx y
. Поэтому
2
2
22
0
0
(2 3 1) (2 6 ) (2 1) ( ) 6
OA
x y dx xy dy x dx x x
,
4
4
22
0
0
(2 3 1) (2 6 ) (2 12 ) (2 6 ) 88
AC
x y dx xy dy y dy y y
.
О А
В С(2; 4)
х
у
Рис. 15
ПГУ Каф ВиПМ Контрольная работа № 8 zвых 2 x 2 y 2 (уравнение параболоида, ограничивающего данное тело сверху). Но так как в цилиндрических координатах x 2 y 2 2 , то zвых 2 2 . Перейдём к повторным интегралам, расставим пределы интег- рирования и вычислим объём: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 V d d dz d d z 1 d (2 2 1) d 0 0 1 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 4 d ( 3 ) d 2 4 6 d 12. d 0 0 0 0 0 431-440. Задан криволинейный интеграл (2 x 3 y 2 1)dx (2 6 xy )dy L и точки О(0;0), A(2; 0), B(0; 4) и C(2; 4). Вычислить интеграл, если: а) L – ломаная ОАС; б) L – ломаная ОВС; в) L – дуга параболы y x 2 . Объяснить совпадение полученных результа- тов. Решение. у В С(2; 4) а) L – ломаная ОАС (рис. 15). По свойству аддитивности криволинейного интеграла 2 (2 x 3 y 1)dx (2 6 xy )dy х L О А (2 x 3 y 2 1)dx (2 6 xy )dy Рис. 15 OA (2 x 3 y 2 1)dx (2 6 xy )dy. AC На отрезке ОА: y 0, dy 0, 0 x 2 , на отрезке АС: x 2, dx 0, 0 y 4 . Поэтому 2 2 (2 x 3 y 1)dx (2 6 xy )dy (2 x 1)dx ( x 2 x) 6 , 2 0 OA 0 4 4 (2 x 3 y 2 1)dx (2 6 xy )dy (2 12 y )dy (2 y 6 y 2 ) 88 . 0 AC 0 75
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- …
- следующая ›
- последняя »