Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Контрольная работа № 8
75
22
вых
2zxy (уравнение параболоида, ограничивающего данное тело
сверху). Но так как в цилиндрических координатах
222
xy, то
2
вых
2z . Перейдём к повторным интегралам, расставим пределы интег-
рирования и вычислим объём:
2
2
2
22 22 22
2
2
1
00 1 00 00
2
22 2 2
24
3
00 0 0
0
(2 1)
() 6 12.
24
Vdd dzddz d d
ddd d




  






  

431-440. Задан криволинейный интеграл
2
(2 3 1) (2 6 )
L
x
ydx xydy
и точки О(0;0), A(2; 0), B(0; 4) и C(2; 4). Вычислить интеграл, если: а) L –
ломаная ОАС; б) L – ломаная ОВС;
в) L – дуга параболы
2
yx . Объяснить совпадение полученных результа-
тов.
Решение.
а) L – ломаная ОАС (рис. 15). По свойству
аддитивности криволинейного интеграла
2
2
(2 3 1) (2 6 )
(2 3 1) (2 6 )
L
OA
xy dx xydy
x
ydx xydy


2
(2 3 1) (2 6 ) .
AC
x
ydx xydy
На отрезке ОА: 0, 0, 0 2ydy x
,
на отрезке АС: 2, 0, 0 4
x
dx y
. Поэтому
2
2
22
0
0
(2 3 1) (2 6 ) (2 1) ( ) 6
OA
x y dx xy dy x dx x x 

,
4
4
22
0
0
(2 3 1) (2 6 ) (2 12 ) (2 6 ) 88
AC
x y dx xy dy y dy y y

.
О А
В С(2; 4)
х
у
Рис. 15 
ПГУ                                                            Каф ВиПМ
                                            Контрольная работа № 8

zвых  2  x 2  y 2 (уравнение параболоида, ограничивающего данное тело
сверху). Но так как в цилиндрических координатах                                  x 2  y 2  2 , то
zвых  2  2 . Перейдём к повторным интегралам, расставим пределы интег-
рирования и вычислим объём:
         2        2       2 2       2    2             2  2
                                                    2 2
V         d   d                      
                                   dz  d   d  z 1      d  (2  2  1) d  
                                                                   
          0        0         1          0   0               0  0
    2         2                     2               2   2
                                           2   4
                                                 
        d   (  3 ) d          2 4   6  d   12.
                                       d     
     0         0                     0            0 0


              431-440. Задан криволинейный интеграл  (2 x  3 y 2  1)dx  (2  6 xy )dy
                                                                L
и точки О(0;0), A(2; 0), B(0; 4) и C(2; 4). Вычислить интеграл, если: а) L –
ломаная ОАС; б) L – ломаная ОВС;
в) L – дуга параболы y  x 2 . Объяснить совпадение полученных результа-
тов.
       Решение.                                        у
                                                     В      С(2; 4)
       а) L – ломаная ОАС (рис. 15). По свойству
аддитивности криволинейного интеграла
                   2
 (2 x  3 y            1)dx  (2  6 xy )dy 
                                                                                           х
L                                                                       О         А
        (2 x  3 y 2  1)dx  (2  6 xy )dy                              Рис. 15
    OA

        (2 x  3 y 2  1)dx  (2  6 xy )dy.
    AC
На отрезке ОА: y  0, dy  0, 0  x  2 ,
на отрезке АС: x  2, dx  0, 0  y  4 . Поэтому
                                                  2                      2
         (2 x  3 y  1)dx  (2  6 xy )dy   (2 x  1)dx  ( x 2  x)  6 ,
                       2
                                                                         0
 OA                                                0
                                                  4                           4
        (2 x  3 y 2  1)dx  (2  6 xy )dy   (2  12 y )dy  (2 y  6 y 2 )   88 .
                                                                              0
AC                                                0




                                                       75

Страницы