Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Контрольная работа № 8
78
451-460. Дано векторное поле
()(2)Fxzi yxjzk

и плоскость
(): 2 2 4 0
p
xyz, которая вместе с
координатными осями образует пирамиду
V. Пусть - основание пирамиды, принад-
лежащее плоскости (р); - контур, ограни-
чивающий ; n
- нормаль к
, направлен-
ная вне пирамиды V. Требуется вычислить:
1) поток векторного поля
F
через
поверхность в направлении нормали n
;
2) поток векторного поля F через
полную поверхность пирамиды V в направлении внешней нормали к ее по-
верхности непосредственно, и применив теорему Остроградского – Гаусса..
3) циркуляцию векторного поля
F
по замкнутому контуру непо-
средственно и применив теорему Стокса к поверхности с ограничиваю-
щим ее контуром . Сделать чертеж.
Решение.
1) Вычисляем поток векторного поля
F
через поверхность в на-
правлении нормали n
с помощью поверхностного интеграла
0
1
()Fn ds


, где
0
n
- единичный вектор нормали к плоскости
2 2 4 0
x
yz,
22
1( ) ( )
xy
ds z z dxdy

 ,
(
F
·
0
n
) – скалярное произведение векторов (рис. 18). Находим:
0
22 22 122
;;
3333
144
ijkijk
n
 



 
,
11 13
2, , 1, 1 1
22 42
xy
z x y z z ds dxdy dxdy

  ,
0
1221
()()(2) ( 422)
3333
Fn xz yx z xz y x z




1
(3 4 3 )
3
yz.
Поэтому
0
1
13
() (343)
32
Fn ds x y zdxdy


 
х
у
z
О
А
В
С
4
-2
2
n
x
y
Рис. 18 
ПГУ                                                   Каф ВиПМ
                                   Контрольная работа № 8

         451-460.      Дано      векторное
                                           поле          z
                           
F  ( x  z ) i  (2 y  x) j  z k и плоскость
( p ) : x  2 y  2 z  4  0 , которая вместе с 
                                                     2 С
                                                 n
координатными осями образует пирамиду
V. Пусть  - основание пирамиды, принад-
лежащее плоскости (р);  - контур, ограни- -2        
                                                                      у
чивающий  ; n - нормаль к  , направлен- В           О 
                                                          xy
ная вне пирамиды V. Требуется вычислить:
                                                             4
          1) поток векторного поля F через
                                                  Рис. 18   А х
  поверхность  в направлении нормали n ;
          2) поток векторного поля F через
  полную поверхность пирамиды V в направлении внешней нормали к ее по-
  верхности непосредственно, и применив теорему Остроградского – Гаусса..
                                              
          3) циркуляцию векторного поля F по замкнутому контуру  непо-
  средственно и применив теорему Стокса к поверхности  с ограничиваю-
  щим ее контуром  . Сделать чертеж.
       Решение.
                                                 
      1) Вычисляем поток векторного поля F через поверхность  в на-
                          
правлении нормали n с помощью поверхностного интеграла
                          
1   ( F  n 0 )ds , где n 0 - единичный вектор нормали к плоскости
      

           x  2 y  2 z  4  0 , ds  1  ( z x )2  ( z y )2 dxdy ,
   
( F · n 0 ) – скалярное произведение векторов (рис. 18). Находим:
                                            
                      0 i  2 j  2k i  2 j  2k  1 2 2 
                     n                             ;  ; ,
                            1 4  4        3        3 3 3 
               1                       1                           1           3
          z   x  y  2,     z x   ,    z y  1, ds  1        1 dxdy  dxdy ,
               2                       2                           4           2
                       1               2       2 1
( F  n 0 )  ( x  z )   (2 y  x)      z   ( x  z  4 y  2 x  2 z ) 
                         3               3       3 3
   1
 (3 x  4 y  3 z ) .
   3
                                     1 3
Поэтому 1   ( F  n 0 )ds    (3 x  4 y  3 z )dxdy 
                                       3 2
                                           



                                                78

Страницы