Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Контрольная работа № 8
80
Грань ВОС лежит в плоскости 0
x
, нормаль к этой грани
00
,( ) ( )niFn xzz  

(так как 0
x
), ds dydz
. Тогда поток век-
торного поля
F
через грань ВОС

20 2
3
020
2
B
OC AOC z
zds zdydz zdz dy z z dz

 

2
3
2
0
4
.
33
z
z

 



Теперь находим поток через полную поверхность пирамиды
123
52 16 4 32
.
3333

Вычислим поток через поверхность пирамиды по формуле Остроград-
ского – Гаусса:
V
PQR
dxdydz
xyz







.
Находим
() (2) ()
1, 2, 1
Pxz Q yx Rz
xx y y zz
 


. Так как
V
dxdydz

равен объёму прямоугольной пирамиды АВСО, то
11 32
(1 2 1) 4 4 4 2 2 .
32 3
VV
dxdydz dxdydz 
 
3) Вычислим циркуляцию С векторного поля
F
по замкнутому контуру
с помощью криволинейного интеграла
(,,) (,,)С Pxyzdx Qxyzdy

(, ,)
xyzdz
.
Замкнутый контур интегрирования
состоит из трёх отрезков: АС, СВ,
ВА (рис. 20).
На АС: 0, 0, 4 2 , 2ydyx zdxdz .
Тогда

22
00
( ) (2 ) (4 )(2) (3 8)
AC
x
z dx y x dy zdz z z dz z dz

2
2
0
38 10.
2
z
z





ПГУ                                                        Каф ВиПМ
                                        Контрольная работа № 8

     Грань ВОС лежит в плоскости x  0 , нормаль к этой грани
 0        
n  i , ( F  n 0 )  ( x  z )   z (так как x  0 ), ds  dydz . Тогда поток век-
               
торного поля F через грань ВОС
                                                        2       0            2
        3              zds          zdydz    zdz         dy    z   z  2  dz 
                  BOC                  AOC              0      z 2          0
                   2
    z3         4
    z2    .
    3          3
           0
      Теперь находим поток через полную поверхность пирамиды
                                           52 16 4 32
                        1   2   3        .
                                            3  3 3 3
      Вычислим поток через поверхность пирамиды по формуле Остроград-
ского – Гаусса:
                                                P Q R 
                                                       dxdydz .
                                                 x   y   z
                                            V                
              P  ( x  z )                Q  (2 y  x)               R  ( z )
Находим                      1,                          2,                     1 . Так как
              x     x                     y     y                    z   z

 dxdydz    равен объёму прямоугольной пирамиды АВСО, то
V
                                                       1 1             32
             (1  2  1)dxdydz  4 dxdydz  4    4  2  2  .
                                                       3 2              3
               V                        V
                                                        
      3) Вычислим циркуляцию С векторного поля F по замкнутому контуру
 с помощью криволинейного интеграла
                          С   P ( x, y, z )dx  Q( x, y, z )dy   R( x, y, z )dz .
                               
      Замкнутый контур интегрирования  состоит из трёх отрезков: АС, СВ,
ВА (рис. 20).
     На АС: y  0, dy  0, x  4  2 z , dx  2dz .
                                                       2                                2
Тогда        ( x  z )dx  (2 y  x)dy  zdz    (4  z )  (2)  z  dz   (3 z  8)dz 
         AC                                            0                                0
                 2
   z2      
  3  8 z   10.
   2       
           0


                                                      80

Страницы