Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Контрольная работа № 8
82
461-470. Проверить является ли векторное поле
2
(2 ) ( 2 )Fxyzix yjxk

потенциальным и соленоидальным. В слу-
чае потенциальности поля F найти его потенциал.
Решение.
Векторное поле (,,) (,,) (,,)F Pxyzi Qxyzj Rxyzk
является потен-
циальным, если в каждой точке этой области ротор равен нулю.
Имеем:
2
2, 2, .P xyzQx yRx Тогда

2
rot (0 0) 1 1 2 2 0.
22
ijk
Fijxxk
xyz
xy z x y x






Таким образом, rot 0F
, т.е. поле (,,) (,,) (,,)F Pxyzi Qxyzj Rxyzk
-
потенциальное.
Векторное поле является соленоидальным области V , если в каждой
точке этой области
div 0
PQR
F
xyz



.
Найдём
2
(2 ) ( 2 ) ( )
div 2 200
xy z x y x
Fy
xyz



, поэтому поле
не является соленоидальным.
Найдём потенциал векторного поля по формуле
0
(, ,)
MM
u x y z Pdx Qdy Rdz C

,
где
0000
(, ,)
M
xyz
- некоторая фиксированная точка области V , ( , , )
M
xyz -
любая точка области V , C - произвольная постоянная. В данном случае,
0
2
(, ,) (2 ) ( 2)
MM
uxyz xy zdx x ydy xdz C  
.
Согласно определению ротора, необходимыми и достаточными условиями
потенциальности поля являются равенства
0, 0,
RQ PR
yz zx



0.
QP
xy

При выполнении этих условий криволинейный интеграл второго рода
не зависит от пути интегрирования, соединяющего точки
0
M
и
M
. Так как
функции
2
2, 2,P xyzQx yRx непрерывны и имеют непрерыв-
ные производные во всех точках пространства, То в качестве
0000
(, ,)
M
xyz
можно взять начало координат (0,0,0)O , а в качестве 
ПГУ                                                          Каф ВиПМ
                                          Контрольная работа № 8

      461-470. Проверить является ли векторное поле
                                     
F  (2 xy  z ) i  ( x 2  2 y ) j  x k потенциальным и соленоидальным. В слу-
чае потенциальности поля F найти его потенциал.
       Решение.
                                                                  
    Векторное поле F  P ( x, y, z )i  Q( x, y, z ) j  R( x, y, z )k является потен-
циальным, если в каждой точке этой области ротор равен нулю.
Имеем: P  2 xy  z, Q  x 2  2 y, R  x . Тогда

                                              
                      i               j        k
                                                                                   
        rot F                                     (0  0)i  1  1 j   2 x  2 x  k  0.
                      x             y        z
              2 xy  z x 2  2 y x
                                                                                   
Таким образом, rot F  0 , т.е. поле F  P ( x, y, z )i  Q( x, y, z ) j  R( x, y, z )k -
потенциальное.
      Векторное поле является соленоидальным области V , если в каждой
                              P Q R
точке этой области div F                      0.
                                   x y z
               (2 xy  z )  ( x 2  2 y )  ( x)
Найдём div F                                       2 y  2  0  0 , поэтому поле
                     x                y       z
не является соленоидальным.
      Найдём потенциал векторного поля по формуле
                       u ( x, y, z )   Pdx  Qdy  Rdz  C ,
                                             M0M
где M 0 ( x0 , y0 , z0 ) - некоторая фиксированная точка области V , M ( x, y, z ) -
любая точка области V , C - произвольная постоянная. В данном случае,
                  u ( x, y , z )         (2 xy  z )dx  ( x 2  2 y )dy  xdz  C .
                                     M0M
Согласно определению ротора, необходимыми и достаточными условиями
потенциальности поля являются равенства
                  R Q        P R        Q P
                          0,         0,        0.
                  y z        z x        x y
      При выполнении этих условий криволинейный интеграл второго рода
не зависит от пути интегрирования, соединяющего точки M 0 и M . Так как
функции P  2 xy  z, Q  x 2  2 y, R  x непрерывны и имеют непрерыв-
ные производные во всех точках пространства, То в качестве M 0 ( x0 , y0 , z0 )
можно взять начало координат O(0,0,0) , а в качестве

                                                     82

Страницы