Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

76
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ
РАБОТЫ
91-100. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.
Р е ш е н и е.
а)
43
42
725
lim
637
→∞
++
+−
x
xx
xxx
. Имеем неопределённость вида
∞
∞
. Чтобы раскрыть
её, разделим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на
x
в
наивысшей степени, в данном примере на
4
x
. Получим
43
43
4 44 4
42 4 2
23
444
5 25
72 7
725 7
lim lim lim
37
6
637
6
637
→∞ →∞ →∞
+ + ++
++
= = =
+−
+−
+−
xx x
xx
xx
x
x xx x
xxx x x x
xx
xxx
, так как
каждая из дробей
423
25 3 7
,,, 0при→ →∞x
x
xxx
.
б)
2
2
2
4
lim
3 10
→−
−
+−
x
x
xx
. Имеем неопределённость вида
. Чтобы раскрыть её,
разложим числитель и знаменатель дроби на множители, воспользовавшись
формулами сокращённого умножения (см. справочный материал в конце
данного пособия):
2
4 ( 2)( 2)−= − +x xx
и разложением квадратного трёх-
члена на множители. Для чего решим уравнение
2
3 10 0+− =xx
. Найдём
2
2
1, 2
4 1 11
4 1 4 3 ( 10) 11,
26
−± − −±
= − = − ⋅ ⋅− = = =
b b ac
D b ac x
a
,
откуда следует, что
12
5
,2
3
= = −
xx
и
2
5
3 10 3( )( 2)
3
+− = − + =xx x x
(3 5)( 2)=−+xx
. Подставим полученные выражения под знак предела, по-
лучим
2
2
22 2
4 ( 2)( 2) 2 2 2 4
lim lim lim
(3 5)( 2) 3 5 6 5 11
3 10
→− →− →−
− − + − −−
= = = =
− + − −−
+−
xx x
x xx x
xx x
xx
. 
           РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ
                          РАБОТЫ
         91-100. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

         Р е ш е н и е.
          7 x 4 + 2 x3 + 5                           ∞
а) lim                       . Имеем неопределённость вида
                                                       . Чтобы раскрыть
  x →∞ 6 x 4 + 3 x 2 − 7 x                           ∞
её, разделим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на x в
наивысшей степени, в данном примере на x 4 . Получим
                                      x4      x3
                                              5           2 5
            4       3           7    +2    +           7+ +
       7x + 2x + 5                x4     x4 x4             x x4  7
  lim= lim =                                      =
                                                  lim              , так как
 x →∞ 6 x 4 + 3 x 2 − 7 x x →∞ x 4      x2     x x →∞ 6 + 3 − 7 6
                               6     +3    −7
                                 x4     x4    x4          x 2 x3
                        2 5    3 7
каждая из дробей ,           ,    ,    → 0 при x → ∞ .
                        x x 4 x 2 x3

                x2 − 4                          0
б) lim                    . Имеем неопределённость вида
                                                  . Чтобы раскрыть её,
  x →−2 3 x 2 + x − 10                          0
разложим числитель и знаменатель дроби на множители, воспользовавшись
формулами сокращённого умножения (см. справочный материал в конце
данного пособия): x 2 − 4 = ( x − 2)( x + 2) и разложением квадратного трёх-
члена на множители. Для чего решим уравнение 3 x 2 + x − 10 =0 . Найдём
            2                                            −b ± b 2 − 4ac −1 ± 11
  D=      b − 4ac=        1 − 4 ⋅ 3 ⋅ (−10)= 11,   x1,2=               =        ,
                                                              2a           6
                                5                                   5
откуда следует, что x1 =          , x2 = −2 и 3 x 2 + x − 10= 3( x − )( x + 2)=
                                3                                   3
=(3 x − 5)( x + 2) . Подставим полученные выражения под знак предела, по-
                x2 − 4            ( x − 2)( x + 2)        x − 2 −2 − 2 4
лучим lim           = lim                    = lim = =                     .
      x →−2 3 x 2 + x − 10 x →−2 (3 x − 5)( x + 2) x →−2 3 x − 5 −6 − 5 11




                                              76

Страницы