Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

77
в)
3
4
21 5
lim
64
→
+−
−
x
х
x
. Имеем неопределённость вида
0
0
. Чтобы раскрыть её,
умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое чис-
лителю
33
44
( 21 5)( 21 5) 21 25
lim lim
( 64)( 21 5) ( 64)( 21 5)
→→
+− ++ +−
=
− ++ − ++
xx
хx x
xx xx
.
Знаменатель разложим на множители по формуле разности кубов, получим
22
44
41
lim lim
( 4)( 4 16)( 21 5) ( 4 16)( 21 5)
→→
−
= =
− + + ++ + + ++
xx
x
xxx x xx x
1
.
480
=
г)
0
5 sin
lim
cos2 cos4
→
⋅
−
x
xx
xx
. Имеем неопределённость вида
0
0
. Чтобы раскрыть
её, разложим знаменатель на множители по формуле разности косинусов,
получим:
Затем применим I замечательный предел
0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
или воспользуемся
свойствами эквивалентных бесконечно малых величин
sin , sin3 3xx x x
при
0→x
, получим:
0 0 00
5 sin 5 sin 5 5 5
lim lim lim lim
sin3
cos2 cos4 2sin3 sin 2sin3 6
2
→ → →→
⋅⋅
= = = =
−
⋅
x x xx
xx xx x
x
xxxxx
x
(т.к.
0
sin3
lim 3
x
x
x
→
=
) или
2
0 00
5 sin 5 5 5
lim lim lim
cos2 cos4 2sin3 sin 2 3 6
→ →→
⋅⋅
= = =
− ⋅⋅
x xx
x x xx x
x x x x xx
.
д)
( )
lim 4 ln(1 2 ) ln(3 2 )
→∞
+− +
x
xx x
. Преобразуем выражение, стоящее под
знаком предела по свойствам логарифмов
( )
4
12 12
lim 4 ln(1 2 ) ln(3 2 ) lim 4 ln lim ln
32 32
→∞ →∞ →∞
++

+− + = =

++

x
x xx
xx
xx x x
xx
. 
               21 + х − 5                     0
в) lim                      . Имеем неопределённость вида
                                                . Чтобы раскрыть её,
  x → 4 x3 − 64                               0
умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое чис-
лителю
        ( 21 + х − 5)( 21 + x + 5)                  21 + x − 25
lim                                    = lim                            .
x→4          ( x3 − 64)( 21 + x + 5)    x → 4 ( x3 − 64)( 21 + x + 5)

Знаменатель разложим на множители по формуле разности кубов, получим
                         x−4                                       1
lim       = lim                               =
x → 4 ( x − 4)( x 2 + 4 x + 16)( 21 + x + 5) x → 4 ( x 2 + 4 x + 16)( 21 + x + 5)

      1
=        .
     480
            5 x ⋅ sin x                                           0
г) lim                     . Имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть
   x → 0 cos 2 x − cos 4 x                                        0
её, разложим знаменатель на множители по формуле разности косинусов,
получим:
                            2x + 4x       2x − 4x
cos 2 x − cos 4 x =  −2sin          ⋅ sin         =−2sin 3 x sin(− x) =2sin 3 x sin x
                               2             2
                                                    sin x
Затем применим I замечательный предел lim                 = 1 или воспользуемся
                                               x →0 x
свойствами эквивалентных бесконечно малых величин sin x  x, sin 3 x  3 x
при x → 0 , получим:
        5 x ⋅ sin x          5 x ⋅ sin x          5x               5      5
 lim     = lim = lim                        = lim            =              (т.к.
x →0 cos 2 x − cos 4 x x →0 2sin 3 x sin x x →0 2sin 3 x x →0 2 ⋅ sin 3 x 6
                                                                     x
    sin 3 x                    5 x ⋅ sin x             5x ⋅ x              5x2       5
lim         = 3 ) или lim     = lim = lim                           =                  .
x →0 x                x → 0 cos 2 x − cos 4 x x → 0 2sin 3 x sin x x → 0 2 ⋅ 3 x ⋅ x 6


д)     lim 4 x ( ln(1 + 2 x) − ln(3 + 2 x) ) . Преобразуем выражение, стоящее под
      x →∞
знаком предела по свойствам логарифмов
                                                                              4x
                                              1 + 2x          1 + 2x 
 lim 4 x ( ln(1 + 2 x)=
                      − ln(3 + 2 x) ) lim 4=
                                           x  ln      lim ln                   .
x →∞                                  x →∞  3 + 2 x  x →∞  3 + 2 x 



                                               77

Страницы