Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

79
101-110. Задана функция
1
3
() 8
−
= =
x
y fx
и два значения аргумента
1
3=x
и
2
4=x
.
Требуется: 1) установить, является ли эта функция непрерывной или раз-
рывной для каждого из данных значений аргумента;
2) в случае разрыва функции найти её пределы справа и слева.
Р е ш е н и е.
Для точки
1
3=x
имеем:
11
33
30 30
lim 8 8 0, lim 8 8 ,
−∞ ∞
−−
→− →+
= = = = ∞
xx
xx
т.е. в точке
1
3=x
функция
()fx
терпит бесконечный разрыв (
1
3=x
-
точка разрыва второго рода).
Для точки
2
4=x
имеем:
.
Следовательно, в точке
1
4=x
функция
()fx
непрерывна.
111-120. Задана функция
()=y fx
. Найти точки разрыва функции,
если они существуют. Сделать чертёж.
2
2
, если 0,
( ) ( 1) , если 0< 2,
5,если 2.
≤
=−≤
−>
xx
fx x x
xx
Р е ш е н и е. Функция
()fx
определена и непрерывна на интерва-
лах
( ;0), (0;2), (2; )−∞ +∞
, где она задана непрерывными элементарными
функциями. Следовательно, разрыв возможен только в точках
1
0=x
и
2
2=x
. Для точки
1
0=x
имеем:
2
00
lim ( ) lim 0,
xx
fx x
→− →−
= =
2
00
lim ( ) lim ( 1) 1,
xx
fx x
→+ →+
= −=
2
0
(0) 0
=
= =
x
fx
,
т.е. функция
()fx
в точке
1
0=x
имеет разрыв первого рода.
Для точки
2
2=x
находим:
2
20 20
lim ( ) lim ( 1) 1,
xx
fx x
→− →−
= −=
20 20
lim ( ) lim (5 ) 3,
xx
fx x
→+ →+
= −=
2
2
(2) ( 1) 1
=
=−=
x
fx
,
т.е. в точке
2
2=x
функция
()fx
также имеет разрыв первого рода. 
                                                 1
      101-110. Задана функция=y         ( x) 8 x − 3 и два значения аргумента
                                       f=
x1 = 3 и x2 = 4 .
Требуется: 1) установить, является ли эта функция непрерывной или раз-
рывной для каждого из данных значений аргумента;
2) в случае разрыва функции найти её пределы справа и слева.

        Р е ш е н и е.
                                1                                  1
Для точки x1 = 3 имеем: lim 8 x − 3 = 8−∞ = 0,             lim 8 x − 3 = 8∞ = ∞,
                       x →3− 0                           x →3+ 0
т.е. в точке x1 = 3 функция f ( x) терпит бесконечный разрыв ( x1 = 3 -
точка разрыва второго рода).
                                1                                1
Для точки x2 = 4 имеем: lim 8 x − 3= 8=
                                      1
                                        8,               lim 8 x − 3= 8=
                                                                       1
                                                                         8.
                       x→4−0                            x→4+0
Следовательно, в точке x1 = 4 функция f ( x) непрерывна.

      111-120. Задана функция y = f ( x) . Найти точки разрыва функции,
если они существуют. Сделать чертёж.
                                     x 2 , если x ≤ 0,
                                    
                                             2
                                    ( x − 1) , если 0 2.
                                    
      Р е ш е н и е. Функция f ( x) определена и непрерывна на интерва-
лах (−∞;0), (0;2), (2; +∞) , где она задана непрерывными элементарными
функциями. Следовательно, разрыв возможен только в точках x1 = 0 и
x2 = 2 . Для точки x1 = 0 имеем: lim
                                   = f ( x)            lim x 2 0,
                                                       =
                                  x →−0            x →−0
                             2           2
 lim f (=
        x)      lim ( x − 1)
                          =    1, =
                                  f (0) x= 0,
x →+0          x →+0                        x =0
т.е. функция f ( x) в точке x1 = 0 имеет разрыв первого рода.
        Для точки x2 = 2 находим:     lim     f=
                                               ( x)                   1)2 1,
                                                             lim ( x −=
                                    x→2−0                x→2−0
                                                   2
  lim =
      f ( x)            − x) 3, f (2) =
                  lim (5=             ( x − 1)               =
                                                             1,
x→2+0           x→2+0                                  x=2
т.е. в точке x2 = 2 функция f ( x) также имеет разрыв первого рода.

                                      79

Страницы