Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

78
Так как логарифмическая функция непрерывна в области определения, то по
свойству непрерывных функций можно записать:
44
12 12
lim ln ln lim
32 32
→∞ →∞
++
 
=
 
++
 
xx
xx
xx
xx
. Теперь перед нами стоит задача
найти
4
12
lim
32
→∞
+


+

x
x
x
x
. Имеем неопределённость вида
1
∞
(так как
12
lim 1
32
→∞
+

=

+

x
x
x
), которую раскроем сведением выражения ко второму за-
мечательному пределу
1
lim 1
→∞

+=


x
x
e
x
. Для чего выполним следующие
преобразования:
4 44
12 12 2
lim lim 1 1 lim 1
32 32 32
x xx
xx x
xx
xx x
→∞ →∞ →∞
++
 
= + −= − =
 
++ +
 
2
4
32
8
32
2
4
32
2
lim 1 lim ,
32
x
x
x
x
x
xx
ee
x
−
⋅
+
−
+
−
−
+
→∞ →∞

−


=+==


+



так как
lim lim 4, 0 при .
3
32 2
2
→∞ →∞
= = =− → →∞
+
+
xx
x
Или можно несколько иначе, применяя следствие из второго замечательного
предела:
4
4
1
1
12
2
lim lim
3
32
1
2
x
x
xx
x
x
x
x
→∞ →∞

+

+

= =


+


+

(разделили почленно числи-
тель и знаменатель на
2x
)=
4
4
1
4
2
2
4
43 6
4
2
1
1
lim 1
1
2
2
lim
3
3
1
lim 1
2
2
⋅
→∞
−
→∞
⋅
→∞


+
+



= = = = =



+
+



x
x
x
x
x
x
åå
x
x
å
å
å
x
x
. 
  Так как логарифмическая функция непрерывна в области определения, то по
  свойству      непрерывных      функций            можно       записать:
                       4x                            4x
           1 + 2x                   1 + 2x 
   lim ln                 = ln lim                    . Теперь перед нами стоит задача
  x →∞  3 + 2 x               x →∞  3 + 2 x 
                                4x
                   1 + 2x                                     ∞
  найти lim                . Имеем неопределённость вида 1        (так как
            x →∞  3 + 2 x 
        1 + 2x 
   lim           = 1 ), которую раскроем сведением выражения ко второму за-
  x →∞  3 + 2 x 
                                                      x
                              1
                                  e . Для чего выполним следующие
  мечательному пределу lim 1 +  =
                       x →∞   x
  преобразования:
                 4x                                    4x                   4x
        1 + 2x           1 + 2x                   2 
   lim           = lim 1 +       − 1 = lim 1 −         =
  x →∞  3 + 2 x    x →∞    3 + 2x      x →∞    3 + 2x 
                                       −2
                            3+ 2 x  3+ 2 x ⋅4 x           −8 x
              −2           −2 
  =lim  1 +                                     =             e−4 , так как
                                                     lim e 3+ 2 x =
  x →∞      3 + 2x                              x →∞
                                    
        −8 x         −8     −8       3              
   lim        = lim       =    = −4,  → 0 при x → ∞  .
  x →∞ 3 + 2 x x →∞ 3 + 2   2        x              
                    x
  Или можно несколько иначе, применяя следствие из второго замечательного
                                                            4x
                                          1 
                                      1+
                                           2x 
                             4x
                  1 + 2x 
  предела: = lim               =
                                 lim          (разделили почленно числи-
            x →∞  3 + 2 x     x →∞  1 + 3 
                                          2x 
  тель и знаменатель на 2x )=
                 4x                           4x
            1              1        1
                                          ⋅4
        1 +          lim 1 + 
              
            2 x = x →∞          =     2    å2
                                              = å−4 .
                             2 x      å
= lim                                   =
 x →∞  1 + 3                    4 x   3     6
                             3          ⋅4 å
           2x      lim 1 +        å2
                    x →∞    2x 




                                                      78

Страницы