Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

82
Производная обозначается
dy
dx
,
0
или ( )y fx
′′
.
Правила вычисления производных
Установим несколько правил, которые могут помочь в вычислении
производных. Будем считать, что функции
()u ux=
,
()v vx=
и
()y yx=
дифференцируемы.
1. Производная постоянной равна нулю, т.е.
0c
′
=
.
2. Производная суммы (разности) функций равна сумме (разности)
производных этих функций, т.е.
( )
)uv u v
′
′′
±=±
.
3. Производная произведения двух функций находится по правилу
.
Следствие.
()cu c u
′′
= ⋅
, т.е. постоянный множитель можно выне-
сти за знак производной.
4. Производная частного двух функций находится по правилу
2
u uv vu
v
v
′
′′
−

=


, в частности,
2
c cv
v
v
′
′

= −


.
5. Производная сложной функции.
Пусть
( )
() ().yx f ux=
Тогда
( )
() ().yx f u ux
′ ′′
= ⋅
При применении этой формулы для решения конкретных примеров часто
бывает полезным использовать в качестве искусственного приема введе-
ние промежуточных функций.
Проиллюстрируем это на следующем примере. Вычислим производ-
ную функции
( )
3
542
sin 6 .y xx= +
Введем функцию
( )
3
42
sin 6 .u xx= +
Тогда
5
.
yu
=
Затем введем функцию
( )
3
42
6.w xx= −
Тогда
sin .uw=
Наконец, введем функцию
42
6.vxx= +
Тогда
3
.wv=
Воспользовавшись этими обозначениями процесс дифференцирова-
ния можно представить следующим образом:
54
()5 ,y u uu
′′ ′
= = ⋅
(sin ) (cos ) ,u w ww
′′ ′
= =
32
() 3 ,
w v vv
′′ ′
= =
3
24 2 .v xx
′
= +
                              dy
   Производная обозначается      , y ′ или f ′( x0 ) .
                              dx
                       Правила вычисления производных
       Установим несколько правил, которые могут помочь в вычислении
  производных. Будем считать, что функции u = u ( x) , v = v( x) и y = y ( x)
  дифференцируемы.
    1. Производная постоянной равна нулю, т.е. c′ = 0 .
    2. Производная суммы (разности) функций равна сумме (разности)
       производных этих функций, т.е. ( u ± v) )′ =    u ′ ± v′ .
     3. Производная произведения двух функций находится по правилу
                              (uv)′ = u ′ ⋅ v + u ⋅ v′ .
           Следствие. (cu )′= c ⋅ u ′ , т.е. постоянный множитель можно выне-
  сти за знак производной.
     4. Производная частного двух функций находится по правилу
                     u ′ u ′v − v′u                         c ′       cv′
                         =             , в частности,             = −     .
                    v             v 2                        v        v 2

    5. Производная сложной функции.
       Пусть y ( x) = f ( u ( x) ) . Тогда = y ′( x) f ′ ( u ) ⋅ u ′( x).
  При применении этой формулы для решения конкретных примеров часто
  бывает полезным использовать в качестве искусственного приема введе-
  ние промежуточных функций.
       Проиллюстрируем это на следующем примере. Вычислим производ-

                             (     ).
                                          3
  ную функции
         =    y sin 5 6 x 4 + x 2

                   u sin ( 6 x 4 + x 2 ) . Тогда y = u 5 .
                                        3
  Введем функцию
              =

                        w ( 6 x 4 − x 2 ) . Тогда u = sin w.
                                           3
  Затем введем функцию=

  Наконец, введем функцию= v 6 x 4 + x 2 . Тогда w = v3 .
       Воспользовавшись этими обозначениями процесс дифференцирова-
  ния можно представить следующим образом:
    y ′ (u=
    =     5 ′        ′, u ′ (sin
           ) 5u 4 ⋅ u=       =   w)′ (cos w) w′,                   w′ (v=
                                                                   =    3 ′
                                                                         ) 3v 2 v′,
=v′ 24 x3 + 2 x.

                                               82

Страницы