Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

83
Отметим, что все производные берутся по
x
. Теперь начинаем процесс
«собирания» производной
( ) ( )
4
33
42 442
5 sin 6 5sin 6 (cos )y xx u xx ww

′′ ′
= + ⋅= + =


( ) ( )
33
442 42 2
15sin 6 cos 6xx xx vv
′
= + + ⋅ ⋅=
( ) ( ) ( ) ( )
3 32
442 42 42 3
15sin 6 cos 6 6 24 2 .xx xx xx x x= + ++ +
Отметим, что приведенная выше процедура может оказаться полез-
ной на первых порах, пока не выработался автоматизм при вычислении
производных.
6. Производная обратной функции.
Если функция
()y fx=
является строго монотонной на некотором
интервале, то на этом интервале существует обратная функция
()xy= ϕ
,
производная которой находится по формуле:
1
′
=
′
y
x
x
y
.
Таблица производных сложных функций
()fu
()fu
′
()fu
()fu
′
1.
c
0
12.
tgu
2
1
cos
u
u
′
⋅
2.
x
1
13.
ctgu
2
1
sin
u
u
′
−⋅
3.
n
u
1n
nu u
−
′
⋅
14.
arcsinu
2
1
1
u
u
′
⋅
−
4.
u
1
2
u
u
′
⋅
15.
arccosu
2
1
1
u
u
′
−⋅
−
5.
1
u
2
1
u
u
′
−⋅
16.
arctgu
2
1
1
u
u
′
⋅
+
6.
u
a
ln
u
a au
′
⋅⋅
17.
arcctgu
2
1
1
u
u
′
−⋅
+
7.
u
е
u
eu
′
⋅
18.
shu
chuu
′
⋅
      Отметим, что все производные берутся по x . Теперь начинаем процесс
      «собирания» производной
                       3 4
   = ′
        
        
                 4
                    (2
    y 5  sin 6 x + x =       )
                              ′    4   4
                          ⋅ u 5sin 6 x + x
                         
                                            2 3
                                                   =
                                                (cos w) w′(          )
                  (        ) (             )
                             3                            3
= 15sin 4 6 x 4 + x 2                             ⋅ v 2 ⋅ v′
                                  cos 6 x 4 + x 2 =

      =    15sin ( 6 x + x ) cos ( 6 x + x ) ( 6 x + x ) ( 24 x3 + 2 x ) .
                4     4   2 3         4   2 3     4   2 2

            Отметим, что приведенная выше процедура может оказаться полез-
      ной на первых порах, пока не выработался автоматизм при вычислении
      производных.
         6. Производная обратной функции.
            Если функция y = f ( x) является строго монотонной на некотором
      интервале, то на этом интервале существует обратная функция x = ϕ( y ) ,
                                                         1
      производная которой находится по формуле: x′y =       .
                                                        y′x
                             Таблица производных сложных функций

                f (u )                     f ′(u )                       f (u )            f ′(u )
          1.            c                      0                                           1
                                                                                                 ⋅ u′
                                                               12.          tgu        cos u2

          2.            x                      1                                           1
                                                                                      −           ⋅ u′
                                                               13.          ctgu        sin 2 u
                    un                nu n −1 ⋅ u ′                                       1
                                                                                                  ⋅ u′
      3.                                                       14.        arcsin u      1− u  2

                         u                 1                                               1
                                                   ⋅ u′                              −              ⋅ u′
          4.                           2 u                     15.       arccosu         1− u  2

                     1                     1                                              1
                                       −           ⋅ u′                                         ⋅ u′
          5.         u                     u   2               16.        arctgu       1+ u  2

                    au               au ⋅ ln a ⋅ u ′                                  −
                                                                                           1
                                                                                                  ⋅ u′
          6.                                                   17.        arcctgu       1+ u  2

          7.        еu                  eu ⋅ u ′               18.          sh u        ch u ⋅ u ′

                                                              83

Страницы