Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

85
Способ логарифмического дифференцирования удобно применять
для нахождения производных сложных, особенно показательных и показа-
тельно-степенных функций, для которых непосредственное вычисление
производной с использованием правил дифференцирования представляет-
ся трудоемким.
Функция называется показательной, если независимая переменная
входит в показатель степени, и степенной, если переменная является осно-
ванием. Если же и основание, и показатель степени зависят от переменной,
то такая функция будет показательно – степенной.
Пусть
()=u fx
и
()=v gx
– функции, имеющие производные в точ-
ке
x
, и
() 0>fx
. Найдем производную функции
=
v
yu
. Логарифмируя,
получим:
ln ln= ⋅yv u
, затем продифференцируем:
( ) ( )
ln ln
′′
= ⋅y vu
ln
′′
′
= +
yu
v uv
yu
, откуда следует
или
( )
1
ln
−
′
′′
= +
vv v
u vu u u v u
.
Пример 1. Найти производную функции
2 cos
() ( 3)= +
xx
fx x x
.
Решение. Прологарифмируем данную функцию
2 cos 2
ln ( ) ln( 3 ) cos ln( 3 )=+ = ⋅+
xx
fx xx xxxx
и найдём производные от ле-
вой и правой части полученного равенства
( )
( ) ( )
2 22
ln ( ) cos ln( 3 ) ( cos ) ln( 3 ) cos ln( 3 )
′′
′
′
= ⋅+= ⋅++ ⋅ +fx xxx x xx x xxx x x
2
2
2
() ( 3)
(cos sin ) ln( 3 ) cos
()
3
′′
+
= −⋅ ⋅ + + ⋅
+
fx x x
xx x x x x x
fx
xx
или
2
2
() 2 3
(cos sin ) ln( 3 ) cos
()
3
′
+
= −⋅ ⋅ + + ⋅
+
fx x
xx x x x x x
fx
xx
Окончательно:
( )
2
cos
22
23
( ) ( ) (cos sin ) ln( 3 ) cos
3
23
3 (cos sin ) ln( 3 ) cos .
3
+

′
= ⋅ −⋅ ⋅ + + ⋅ =

+

+

= + ⋅ −⋅ ⋅ + + ⋅

+

xx
x
f x fx x x x x x x
x
x
xx xxxxx x
x
Дифференцирование неявных функций 
      Способ логарифмического дифференцирования удобно применять
для нахождения производных сложных, особенно показательных и показа-
тельно-степенных функций, для которых непосредственное вычисление
производной с использованием правил дифференцирования представляет-
ся трудоемким.
      Функция называется показательной, если независимая переменная
входит в показатель степени, и степенной, если переменная является осно-
ванием. Если же и основание, и показатель степени зависят от переменной,
то такая функция будет показательно – степенной.
      Пусть u = f ( x) и v = g ( x) – функции, имеющие производные в точ-
ке x , и f ( x) > 0 . Найдем производную функции y = u v . Логарифмируя,
получим:
                                                          ′ ( v ⋅ ln u )′
        ln y= v ⋅ ln u , затем продифференцируем: ( ln y )=
         y′          u′                               u′        
        = v′ ln u + v , откуда следует=     y′ u v  v + v′ ln u  или
         y           u                                u         
                            ′
                        =uv      ( )
                              vu v −1u′ + u vv′ ln u .

                                                    x) ( x 2 + 3 x) x cos x .
       П р и м е р 1 . Найти производную функции f (=
       Решение.                Прологарифмируем      данную          функцию
ln f ( x) = ln( x 2 + 3 x) x cos x = x cos x ⋅ ln( x 2 + 3 x) и найдём производные от ле-
вой            и          правой            части             полученного            равенства

               (                       ) ′
                                                                                  (
( ln f ( x) )′= x cos x ⋅ ln( x 2 + 3x) = ( x cos x)′ ⋅ ln( x 2 + 3x) + x cos x ⋅ ln( x 2 + 3x) )
                                                                                                ′



             f ′( x)                                2                    ( x 2 + 3 x)′
                 = (cos x − x ⋅ sin x) ⋅ ln( x + 3 x) + x cos x ⋅                      или
             f ( x)                                                        x2 + 3x
             f ′( x)                                                       2x + 3
                 = (cos x − x ⋅ sin x) ⋅ ln( x 2 + 3x) + x cos x ⋅
              f ( x)                                                      x 2 + 3x
Окончательно:
                                                                     2x + 3 
    f ′( x=
          ) f ( x) ⋅  (cos x − x ⋅ sin x) ⋅ ln( x 2 + 3 x) + cos x ⋅         =
                                                                      x+3 

               (          )                                                         2x + 3 
                         x cos x 
          = x 2 + 3x            ⋅  (cos x − x ⋅ sin x) ⋅ ln( x 2 + 3 x) + cos x ⋅         .
                                                                                    x+3 

                     Дифференцирование неявных функций


                                                85

Страницы