Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

87
ной на этом промежутке. Тогда существует обратная функция
1
()
−
= ϕ
tx
,
подставляя которую в уравнение
()= ψyt
получим
( )
1
() ()
−
=ψϕ =y x fx
.
Таким образом, переменная
y
является сложной функцией от переменной
x
. Задание функции
()=y fx
с помощью уравнений называется парамет-
рическим.
Уравнения можно интерпретировать как зависимость координат
точки
(, )xy
, движущейся на плоскости, от времени
t
. Тогда график функ-
ции
представляет собой траекторию точки.
Приведём примеры параметрических уравнений некоторых кривых.
1. Окружность.
Уравнение окружности радиуса
R
с центром в начале координат
может быть записано в виде
cos ,
sin ,
=
=
xR t
yR t
где
02≤≤πt
.
Исключив параметр
t
, получим каноническое уравнение окружности
22 2
+=xyR
.
2. Эллипс.
Параметрическое уравнение эллипса с полуосями
a
и
b
имеет вид
cos ,
sin ,
=
=
xa t
yb t
где
02≤≤πt
.
Исключив параметр
t
, получим каноническое уравнение эллипса
22
22
1+=
xy
ab
.
3. Циклоида.
Циклоидой называется кривая, которую описывает некоторая точка,
лежащая на окружности радиуса
a
, когда окружность без скольжения ка-
тится по прямой (Рис. 33).
y
x
O
πa
2πa
2a
Рис. 33 
ной на этом промежутке. Тогда существует обратная функция t = ϕ−1( x) ,

                                                          (      )
подставляя которую в уравнение y = ψ (t ) получим y =ψ ϕ−1( x) = f ( x) .
Таким образом, переменная y является сложной функцией от переменной
x . Задание функции y = f ( x) с помощью уравнений называется парамет-
рическим.
       Уравнения можно интерпретировать как зависимость координат
точки ( x, y ) , движущейся на плоскости, от времени t . Тогда график функ-
ции y = f ( x) представляет собой траекторию точки.
       Приведём примеры параметрических уравнений некоторых кривых.
       1.     Окружность.
       Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат
                                x = R cos t ,
может быть записано в виде                    где 0 ≤ t ≤ 2π .
                                y = R sin t ,
       Исключив параметр t , получим каноническое уравнение окружности
x2 + y 2 =
         R2 .
      2.   Эллипс.
      Параметрическое уравнение эллипса с полуосями a и b имеет вид
                       x = a cos t ,
                                     где 0 ≤ t ≤ 2π .
                       y = b sin t ,
      Исключив параметр t , получим каноническое уравнение эллипса
x2          y2
        +        =
                 1.
    2       2
a    b
      3.   Циклоида.
      Циклоидой называется кривая, которую описывает некоторая точка,
лежащая на окружности радиуса a , когда окружность без скольжения ка-
тится по прямой (Рис. 33).
                      y
                      2a




                      O          πa                 2πa          x


                                 Рис. 33

                                      87

Страницы