Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

86
Соотношение вида
(, ) 0=Fxy
(7.3)
задаёт неявную функцию
()=y yx
. В некоторых случаях уравнение (7.3)
удаётся разрешить относительно
y
, и тогда можно перейти от неявного
задания функции к явному:
()=y fx
; в других случаях такой переход ока-
зывается неосуществимым. Независимо от возможности такого перехода
производная
′
y
может быть найдена следующим образом:
1) дифференцируем левую часть равенства (7.3), рассматривая при
этом
y
как функцию от
x
, и приравниваем её к нулю;
2) решаем полученное уравнение относительно
′
y
. В результате полу-
чаем выражение производной от неявной функции в виде
(, )
′
=y fxy
.
Пример 1. Найти производную
, если
32
5 40+ +=x y xy
.
Решение. Дифференцируем заданное соотношение, рассматривая
при этом
y
как функцию от
x
:
22 3
3 2 55 0
′′
+ ⋅+ + =x y x y y y xy
.
Решаем это уравнение относительно
′
y
:
3 22
2 53 5
′′
⋅+ =− −x y y xy x y y
;
3 22
(2 5 ) 3 5
′
+=− −
y xy x xy y
, и находим
22
3
35
25
+
′
= −
+
xy y
y
xy x
.
Пример 2. Найти производную
, если
arctg 0−+=yyx
.
Решение. Дифференцируем заданное соотношение, рассматривая
при этом
y
как функцию от
x
:
2
1
10
1
′′
⋅ − +=
+
yy
y
, или
22
(1 ) 1 0
′′
− + ++ =yy y y
. Далее находим
22
(1 1 ) 1 0
′
−− ++ =yyy
откуда
следует
2
2
1+
′
=
y
y
y
.
Функции, заданные параметрически и их дифференцирование
Пусть функции
()
()
= ϕ
= ψ
xt
yt
определены на некотором промежутке изменения переменной
t
, которую
назовём параметром. Пусть функция
()= ϕxt
является строго монотон-
      Соотношение вида
                                  F ( x, y ) = 0                    (7.3)
задаёт неявную функцию y = y ( x) . В некоторых случаях уравнение (7.3)
удаётся разрешить относительно y , и тогда можно перейти от неявного
задания функции к явному: y = f ( x) ; в других случаях такой переход ока-
зывается неосуществимым. Независимо от возможности такого перехода
производная y′ может быть найдена следующим образом:
   1) дифференцируем левую часть равенства (7.3), рассматривая при
этом y как функцию от x , и приравниваем её к нулю;
   2) решаем полученное уравнение относительно y′ . В результате полу-
чаем выражение производной от неявной функции в виде y′ = f ( x, y ) .
      П р и м е р 1 . Найти производную y′( x) , если x3 y 2 + 5 xy + 4 =0.
      Р е ш е н и е . Дифференцируем заданное соотношение, рассматривая
при этом y как функцию от x :
                    3 x 2 y 2 + 2 x3 y ⋅ y′ + 5 y + 5 xy′ =
                                                          0.
Решаем это уравнение относительно y′ :
  2 x3 y ⋅ y′ + 5 xy′ =−3 x 2 y 2 − 5 y ;      y′(2 x3 y + 5 x) =
                                                                −3 x 2 y 2 − 5 y , и находим
                                               3x 2 y 2 + 5 y
                                      y′ = −                    .
                                                2 x3 y + 5 x

      П р и м е р 2 . Найти производную y′( x) , если arctg y − y + x =0.
      Р е ш е н и е . Дифференцируем заданное соотношение, рассматривая
                                     1
при этом y как функцию от x :            ⋅ y′ − y′ + 1 =0 , или
                                  1 + y2
y′ − y′(1 + y 2 ) + 1 + y 2 =0 . Далее находим y′(1 − 1 − y 2 ) + 1 + y 2 =0 откуда
                1 + y2
следует y′ =             .
                    2
            y
      Функции, заданные параметрически и их дифференцирование

      Пусть функции
                              x = ϕ(t )
                             
                              y = ψ (t )
определены на некотором промежутке изменения переменной t , которую
назовём параметром. Пусть функция x = ϕ(t ) является строго монотон-

                                                 86

Страницы