Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 85 стр.

                             1
                                 ⋅ u′
8.      log a u           u ln a             19.            ch u     sh u ⋅ u ′
                            1                                         1
          ln u                ⋅ u′                                          ⋅ u′
9.                          u                20.           th u        2
                                                                    ch u
10.      sin u            cosu ⋅ u ′                                   1
                                                                   −        ⋅ u′
                                             21.           cth u     sh 2 u
11.      cosu            − sin u ⋅ u ′

      Уравнение касательной к кривой y = f ( x) в точке x0 имеет вид
                      y f ( x0 ) + f ′( x0 ) ⋅ ( x − x0 ) .
                      =                                                           (7.1)
Геометрический смысл производной: f ′( x0 =
                                          ) tg α , где tg α равен углово-
му коэффициенту касательной кривой y = f ( x) в точке x0 .
      Уравнение нормали к кривой y = f ( x) в точке x0 имеет вид
                                            1
                         y=f ( x0 ) −              ( x − x0 ) .                   (7.2)
                                         f ′( x0 )
При f ′( x0 ) = 0 уравнение нормали имеет вид x = x0 .
      С физической точки зрения производная y ′ = f ′( x) определяет ско-
рость изменения функции в точке x .

                  Логарифмическое дифференцирование

                                          ln x      ï ðè x > 0
     Рассмотрим функцию=           y ln=
                                       x 
                                          ln(− x) ï ðè x < 0.
                                 ′ 1              (− x)′ 1
Тогда ( ln x )′ = , т.к. ( ln x ) = ; (ln(− x))′=
                 1
                                                        =   .
                 õ                  x               x     x
                                                                     ′ f ′( x)
          Учитывая полученный результат, можно записать ( ln f ( x) ) =        .
                                                                        f ( x)
                 f ′( x)
Отношение                называется логарифмической производной функции
                 f ( x)
 f ( x) .
          Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что
сначала находят логарифмическую производную функции, а затем произ-
водную самой функции по формуле
                            =  f ′( x) (ln f ( x) )′ ⋅ f ( x)

                                           84