Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

89
Пусть
y
как функция от
x
задана параметрическими уравнениями
()
()
xt
yt
= ϕ
= ψ
.
Предположим, что эти функции имеют производные
()t
′
ψ
и
() 0t
′
ϕ≠
.
Дифференцируя функцию
()yt= ψ
по правилу дифференцирования слож-
ной функции, получим
dy d dt
dx dt dx
ψ
= ⋅
. Производную
dt
dx
найдём по прави-
лу дифференцирования обратной функции
.
Окончательно получаем:
()
()
()
()
ψ
′
ψ
= =
ϕ
′
ϕ
dt
dy t
dt
dt
dx t
dt
или
t
x
t
y
y
x
′
′
=
′
. (7.4)
Таким образом можно находить производную функции, не находя
непосредственной зависимости
y
от
x
.
Пример 3. Вычислить
x
y
′
, если
cos ,
sin .
xa t
yb t
=
=
Решение. Применим формулу (7.4), предварительно найдя произ-
водные
sin , cos
tt
x a ty b t
′′
=−=
. Тогда
cos
ctg
sin
x
bt b
yt
at a
′
= = −
−
,
(,)t kk Z≠π ∈
.
Дифференциал функции
Пусть функция
()y fx=
имеет в точке
0
x
отличную от нуля произ-
водную
0
0
lim ( ) 0
x
y
fx
x
∆→
∆
′
= ≠
∆
. Тогда можно записать
0
()
y
fx
x
∆
′
= +α
∆
, где
0 ï ðè 0xα→ ∆ →
, или
0
()y fx x x
′
∆ = ⋅∆ +α⋅∆
.
Таким образом, приращение функции
y∆
представляет собой сумму
двух слагаемых
0
()fx x
′
⋅∆
и
xα⋅∆
, являющихся бесконечно малыми при
0x∆→
. Первое слагаемое
0
()fx x
′
⋅∆
называется главной частью прира-
щения функции
y∆
. 
    Пусть y как функция от x задана параметрическими уравнениями
                                        x = ϕ(t )
                                                   .
                                        y = ψ (t )
Предположим, что эти функции имеют производные ψ′(t ) и ϕ′(t ) ≠ 0 .
Дифференцируя функцию y = ψ (t ) по правилу дифференцирования слож-
                      dy d ψ dt                     dt
ной функции, получим =       ⋅ . Производную            найдём по прави-
                      dx dt dx                      dx
                                            dt   1    1
лу дифференцирования обратной функции = =                 .
                                            dx dx ϕ′(t )
                                                 dt
                           d ψ (t )
                       dy    dt      ψ′(t )
Окончательно получаем:
                     = =                     или
                       dx d ϕ(t ) ϕ′(t )
                             dt
                                     y′
                                y′x = t .                         (7.4)
                                     xt′
     Таким образом можно находить производную функции, не находя
непосредственной зависимости y от x .
                                                x = a cos t ,
     П р и м е р 3 . Вычислить y′x , если 
                                                y = b sin t.
     Р е ш е н и е . Применим формулу (7.4), предварительно найдя произ-
                                                   b cos t     b
водные xt′ =                b cos t . Тогда y′x =
             −a sin t , yt′ =                               = − ctg t , (t ≠ πk , k ∈ Z ) .
                                                  − a sin t    a

                         Дифференциал функции
     Пусть функция y = f ( x) имеет в точке x0 отличную от нуля произ-
              ∆y                                    ∆y
водную lim= f ′( x0 ) ≠ 0 . Тогда можно записать= f ′( x0 ) + α , где
        ∆x →0 ∆x                                    ∆x
                       ∆y f ′( x0 ) ⋅ ∆x + α ⋅ ∆x .
α → 0 ï ðè ∆x → 0 , или=
      Таким образом, приращение функции ∆y представляет собой сумму
двух слагаемых f ′( x0 ) ⋅ ∆x и α ⋅ ∆x , являющихся бесконечно малыми при
∆x → 0 . Первое слагаемое f ′( x0 ) ⋅ ∆x называется главной частью прира-
щения функции ∆y .



                                            89

Страницы