Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

91
( )
( ) ( 1)
() ()
nn
fxf x
−
′
=
или
1
1
nn
nn
dy d d y
dx
dx dx
−
−

=



.
Производные порядка выше первого называются производными
высших порядков.
Общие правила нахождения производных высших порядков
Если функции
()u fx=
и
()v gx=
дифференцируемы, то
1)
() ()
()
nn
Cu Cu=
, где
C const=
.
2)
() () ()
()
nnn
uv u v±=±
;
3) Производная
-го порядка произведения двух функций находится по
формуле Лейбница:
( )
() () ( 1) ( 2) ( )()
()
( 1)... ( 1)
( 1)
( ) ... ...
2! !
... .
n n n n nk k
n
nn n k
nn
u v vu nu v u v u v
k
uv
−− −
− −−
−
′ ′′
⋅ = + + ++ +
+
Если функция задана параметрически
()
()
xt
yt
= ϕ
= ψ
, то её производные
вычисляются последовательно по формулам:
t
x
t
y
y
x
′
′
=
′
,
3
()
()
x t tt t tt t
xx
t
t
y yx xy
y
x
x
′ ′ ′′ ′ ′′ ′
⋅− ⋅
′′
= =
′
′
,
()
xx t
xxx
t
y
y
x
′′ ′
′′′
=
′
и т.д. (7.6)
Если функция
()y yx=
задана неявно уравнением
(, ) 0Fxy=
, то
()yx
′′
находится из уравнения
( )
2
2
( , ( ))
0
d Fxyx
dx
=
и, соответственно, про-
изводная
n
-го порядка находится из уравнения
( )
( , ( ))
0
n
n
d Fxyx
dx
=
.
Пример 4
. Найти производную третьего порядка функции
32
2 23yx x x=− +−
.
Решение. Находим последовательно
,,yyy
′ ′′ ′′′
:
( )
32 2
5 2 3 3 10 2yx x x x x
′
′
= − +−= − +
;
( )
2
3 10 2 6 10yxx x
′
′′
= − +=−
;
(6 10) 6yx
′′′ ′
=−=
. 
                                                                                    d  d n −1 y 
                           f   ( n)
                                           (
                                      ( x) = f   ( n −1)
                                                           ( x)   )
                                                                  ′
                                                                      или
                                                                              dny
                                                                              dx n
                                                                                   = 
                                                                                    dx 
                                                                                        dx
                                                                                                 .
                                                                                            n −1 
                                                                                                 
         Производные порядка выше первого называются производными
     высших порядков.
                Общие правила нахождения производных высших порядков
             Если функции u = f ( x) и v = g ( x) дифференцируемы, то
     1) (Cu )( n) = Cu ( n) , где C = const .
     2) (u ± v)( n) =u ( n) ± v( n) ;
      3) Производная n -го порядка произведения двух функций находится по
      формуле Лейбница:
                                     n(n − 1) ( n − 2)             n(n − 1)...( n − (k − 1) ) ( n − k ) ( k )
(u ⋅ v)( n=
          )
            vu ( n) + nu ( n −1)v′ +         u         v′′ + ... +                           u         v + ...
                                       2!                                     k!
          ... + uv( n) .
                                                                x = ϕ(t )
           Если функция задана параметрически                              , то её производные
                                                                y = ψ (t )
     вычисляются последовательно по формулам:
            y′           ( y′x )′t ytt′′ ⋅ xt′ − xtt′′ ⋅ yt′             ( y′′ )′
       y′x = t , = y′′xx =                                   , y′′′
                                                                  xxx = xx t и т.д.        (7.6)
            xt′             xt′             ( x′ ) 3
                                                                  t
                                                                             x′
                                                                              t
             Если функция y = y ( x) задана неявно уравнением F ( x, y ) = 0 , то
                                                             d 2 ( F ( x, y ( x)) )
      y′′( x) находится из уравнения                                                  = 0 и, соответственно, про-
                                                                       dx 2
                                                                                       d n ( F ( x, y ( x)) )
     изводная n -го порядка находится из уравнения                   = 0.
                                                            dx n
             П р и м е р 4 . Найти производную третьего порядка функции
      y = x3 − 2 x 2 + 2 x − 3 .
             Р е ш е н и е . Находим последовательно y′, y′′, y′′′ :

              y′ = ( x3 − 5x2 + 2 x − 3)′ = 3x2 − 10 x + 2 ;
              y′′ =( 3 x 2 − 10 x + 2 ) = 6 x − 10 ;
                                       ′
                                                      y′′′ = (6 x − 10)′ = 6 .



                                                                      91

Страницы