Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 93 стр.

       П р и м е р 5 . Найти производную n -го порядка функции y = a x .
       Р е ш е н и е . Дифференцируем последовательно:

                          (      ′
                                     )
y=′ a x ⋅ ln a ; y′′ = a x ⋅ ln a =(a x ⋅ ln a ) ⋅ ln a =a x ⋅ ln 2 a ;             ′′′ a x ⋅ ln 3 a ….
                                                                                   y=

                                                y ( n=
                                                     )
                                                       a x ⋅ ln n a .

                                   ( )
                                         ( n)
        Если y = e x , то e x                   = e x , в общем случае, если y = ekx , то

                                            ( )
                                                      ( n)
                                                ekx          = k nekx .

                                                        x = ln t ,
       П р и м е р 6 . Найти y′′′xxx , если                      3
                                                         y = t .
       Р е ш е н и е . По формулам (7.6) найдём

         ′
        y=
              yt′
              =
                       ( )
                      t3
                         ′
                         =
                                3t 2
                                  = 3t ;    3
                                                     y=′′
                                                                ( y ′
                                                                    x=
                                                                       )′t   ( )
                                                                             3t 3
                                                                                   ′
                                                                                     9t 2
                                                                                = = 9t 3 ;
         x                                             xx
              xt′ ( ln t )′      1                                 xt′     ( ln t )′ 1
                                 t                                                    t


                          y=′′′
                                    ( y′′xx )′t
                                       =
                                                 9 t   ( )
                                                     3 ′
                                                   = = 27t 3 .
                                                               27t 2
                            xxx
                                       xt′      ( ln t )′ 1
                                                                  t
       Пример 7.                Вычислить                 y′′( x) в точке            М(1; 1), если
x 2 + 5 xy + y 2 − 2 x + y + 6 =0.
       Решение.            Дифференцируя                         равенство    по      x , получаем
                                                                                     2x + 5 y − 2
2 x + 5 y + 5 xy′ + 2 yy′ − 2 + y′ =0 , откуда находим                        y′ = −              и
                                                                                     5x + 2 y + 1
             2+5−2           5
y′( M ) = −              = − . Ещё раз дифференцируем равенство по x :
             5 + 2 +1        8
2 + 5 y′ + 5 y′ + 5 xy′′ + 2 y′ ⋅ y′ + 2 yy′′ + y′′ =
                                                    0, из которого выражаем
        2 + 10 y′ + 2 ( y′ )
                             2
y′′ = −                        .    Подставляя в последнее равенство =x 1,=
                                                                          y 1,
           5x + 2 y + 1
                                5      25
                        2 − 10 ⋅ + 2 ⋅
       5                                  111
 y′ = − , получим y′′ =
                      −         8      64 =   .
       8                     5 + 2 +1     256


                                                         92