Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 91 стр.

      Дифференциалом функции y = f ( x) в точке x0 называется главная
часть её приращения, линейная относительно ∆x , равная произведению
производной функции на приращение аргумента, и обозначается
dy f ′( x0 ) ⋅ ∆x . Так как x′ = 1 , то dx = ∆x , т.е. дифференциал независимой
=
переменной равен приращению этой переменной. Поэтому
                                       dy = f ′( x0 )dx .
           Отбрасывая бесконечно малую α ⋅ ∆x в приращении функции ∆y ,
  получаем приближённое равенство ∆y ≈ dy , причём это равенство тем точ-
  нее, чем меньше ∆x . Приближённое равенство можно записать в виде
   f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ≈ f ′( x0 ) ⋅ ∆x или
                        f ( x0 + ∆x) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 ) ⋅ ∆x .                                 (7.5)
  Полученная формула используется для вычисления приближённых значе-
  ний функций.

             Производные и дифференциалы высших порядков

       Пусть функция y = f ( x) дифференцируема на некотором интервале.
                                                                    dy
  Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную=  y′ f=′( x)    ,
                                                                    dx
  которая тоже является некоторой функций.
       Если найти производную функции f ′( x) , получим вторую произ-
  водную функции y = f ( x) , т.е.    ( f ′( x) )′ =   f ′′( x) или ( y′( x))′ = y′′( x) , а так-
  же
                             d  dy  d 2 y
                                 =        .
                             dx  dx  dx 2
       Механически вторая производная интерпретируется как ускорение
  прямолинейного движения точки, т.е. если S = f (t ) - закон прямолинейно-
                          d2 f
  го движения точки, то          - ускорение этого движения.
                             2
                        dt
        Аналогично, производная третьего порядка функции y = f ( x) есть
  производная от производной второго порядка, т.е.                 ( f ′′( x) )′ =   f ′′′( x) .
  Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n :




                                            90